Matrice de passage

[invitece302794]

Bonjour ,
j'aurais besoin d'aide sur ces deux exercices svp ;
merci d'avance pour votre aide .

1-Dans R³ on considére deux bases B=(u1,u2,u3) B'=(u'1,u'2,u'3). Soit f:R³ dans R³ l'application linéaire telle que
Mat(f,B,B')= 5 1 3
-3 1 -1
1 2 1

on suppose que u1+u2-2u3=u'3 ,démontrer que f(u'3)=u'3 .

Mat(f,B,B') cela veut bien dire que c'est la matrice de passage de B a B'?
j'ai essayé de faire B=Mat(f,B,B') B' avec B' les colonnes de Mat(f,B,B') mais je ne retrouve pas le résultat demandé et je ne sais pas si a partir d'une matrice de passage on peut retrouver B et B' ?

2-Soit f:R³ dans R³ une application linéaire .Soient B et B' deux bases de R³ .soit A=Mat(f,B), soit A'=Mat(f,B') et soit P la matrice de passage de B a B' .

on suppose que A= 2 1 -1
0 1 3
0 0 -1
Les matrices A et A' sont elles inversibles ?

On a A'=P^-1 A.P .
A est donné j'ai trouvé qu'elle était inversible mais pour A' je suis un peu perdue , je dois d'abord la trouver en calculant des matrices de passage intermédiaires ? a partir de A je peux trouver la matrice de passage de la base canonique a B .
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[Kairn]

1. La matrice Mat(f,B,B') représente les coordonnées des vecteurs f(ui) (i = 1, 2 ou 3) dans la base B' : elle te permet d'exprimer simplement f(u1), f(u2) et f(u3) en fonction de u'1, u'2 et u'3. Avec la relation qu'on te donne (u1+u2-2u3 = u'3), tu peux calculer f(u'3) en utilisant la linéarité : f(u'3) = f(u1+u2-2u3) = ... et tu remplaces f(ui) par ce que ça vaut d'après la matrice qu'on te donne.

j'ai essayé de faire B=Mat(f,B,B') B' avec B' les colonnes de Mat(f,B,B')

Je comprends pas...?

2. A est effectivement inversible.
Pour A', tu aurais pu t'amuser à calculer P et P^-1, mais sans connaitre B et B', ça me parait compromis... . Pars plutôt de la relation A'=P^-1 AP. Ne peux-tu pas trouver B telle que BA' = A'B = I3 ?

[invitece302794]

bonsoir ,merci beaucoup pour vos explication ,j'ai trouvé le résultat recherché pour la première question mais je ne vois pas comment trouver B sans connaitre A' ou P

[Kairn]

Tu pars de la relation A'=P^-1 AP, et tu écris une suite d'équivalences dont la dernière ligne sera A'B=I3 avec B=...mystère... Comment peux-tu faire apparaître I3 au membre de droite dans la relation A'=P^-1 AP ? Souviens toi que P, A et P^-1 sont inversibles...

Une fois que tu auras trouvé et exprimé B en fonction de A et P, tu vérifies qu'on a bien BA'=I3, ce qui te prouvera que A' est inversible, puisqu'on lui a trouvé un inverse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece302794]

j'essaie de suivre tes indications mais j'y arrive pas , j'utilise B=PB' et B'=P^-1B .le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible de telle sorte que (A'B)^-1=B^-1A'^-1 .

[Kairn]

le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible de telle sorte que (A'B)^-1=B^-1A'^-1 .

Et si tu faisais pareil avec le produit de 3 matrices inversibles, à savoir P^-1AP ? .

[invitece302794]

A^'=P^-1A^-1P , j'essayais de trouver ce que valait A' mais le question c'est juste de dire oui ou non elle est inversible , donc oui elle est inversible car c'est le produit de matrices inversibles
merci beaucoup pour ton aide !