Coordonnées dans une base

[invite22d2ea21]

Bonjour à tous !
On pose E=Rn[X]
Soit B1=(1,(X-1),(X-1)²,...,(X-1)^n) une base de E.
Soit Q appartenant à E tel que
Q(X) = X⁴-X³-2X²+5X-1

Je dois trouver les coordonnées de Q dans B1..mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre.
Merci !
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[invite23cdddab]

On peut faire des divisions euclidiennes successives :





etc...

[invite22d2ea21]

Merci pour ta réponse.
J'ai trouvé :


Comment passer aux valeurs numériques ? Ils faut '' poser '' à la main toute ces division ?

[leon1789]

prendre la définition d'une base (ou plus précisément une famille génératrice) :
Q(x) = a.1 + b.(x-1) + c.(x-1)^2 + d.(x-1)^3 + e.(x-1)^4 que l'on développe pour identifier les coefficients dans la bas 1,x,x^2,x^3,x^4
et déterminer a,b,c,d,e (par un système linéaire 5x5)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite22d2ea21]

Merci beaucoup pour votre aide !

[invite22d2ea21]

J'ai une autre petite question :
Phi est un application linéaire de E dans R[X] qui a P associe (X-1)P'-2P
U est une application de E dans R qui a P associe P''(1)

Je sais que :
U est subjective
Dim Ker u = dim Im phi = n
Im(phi) =Ker u

La question est :
A l'aide de B1 ( la même que tout Ã* l'heure ) trouver une base de N.

Je ne sais pas comment m'y prendre, quelqu'un Ã* une idée ?

[invite22d2ea21]

Edit : la question est : à l'aide de B1, trouver une base de Ker u

[invite23cdddab]

Si

Alors

Et donc si et seulement si .

Une base de Ker(u) est donc B1 privé de

[invite22d2ea21]

Si

Alors

Et donc si et seulement si .

Une base de Ker(u) est donc B1 privé de

Je te remercie pour ta réponse.
Ce que je ne comprends pas c'est :
''Et donc si et seulement si .' '

Dans si on remplace x par 1 cela s'annule toujours non ? Pourquoi a2 doit-il être égal à 0 ?

[invite23cdddab]

Si tu remplace x par 1, tu obtiens le terme . Je rappelle que dans le cas des séries entières, on prend la convention que pour tout x (même quand il vaut a)

[am2004]

Bonsoir,
As-tu vu le développement taylorien d'une fonction de façon générale? Calculer le dévéloppement à l'ordre 4 du polynôme de départ permet d'obtenir les réponses très rapidement.

[invite22d2ea21]

Merci à vous deux pour vos réponse.
Je commence tout juste le cours sur les séries, je pensais que (x-1)^k-2 était égal à 0 si x=1, je comprends mieux du coup !
Non je n'ai pas encore étudié ces développement

[invite23cdddab]

Enfin je dis série entière (je sais pas pourquoi), mais c'est une convention aussi utilisée pour les polynômes, ça permet d'écrire



Sinon il faudrait écrire