Intégrale, formule d'euler, valeur absolue

[invited5e782d8]

Bonjour.
Je suis étudiant en première année de MPSI, et je rencontre quelques difficultés à calculer une intégrale.
La voici : où n est un entier naturel non nul et k un entier naturel compris entre [1,n].
Je sais intégrer cette même intégrale, sans les valeurs absolues : j'utilise la formule d'euler en prenant la partie imaginaire, partie imaginaire que je sors de l'intégrale. Ensuite le calcul devient trivial.
Pouvez vous me donner une piste pour réussir celle-ci ?
Cordialement.
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[albanxiii]

Bonjour,

Quel est le signe de entre et ?

[invite57a1e779]

Et pour y voir plus clair, on peut changer de variable pour .

[invite7d367980]

Bonjour.
Je sais intégrer cette même intégrale, sans les valeurs absolues : j'utilise la formule d'euler en prenant la partie imaginaire, partie imaginaire que je sors de l'intégrale. Ensuite le calcul devient trivial.

J'ai bien lu que pour intégrer tu passes par la définition avec les exponentielles complexes et compagnie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5e782d8]

Merci pour vos indications. Elles m'ont permis d'avancer (et de simplifier ma rédaction #Dizord).
Je vous envoie ce que j'ai fait (question 3).
Par ailleurs, concernant le même exercice, une autre question me pose problème : la 6. Je ne sais pas comment passer de K=R à K=C. D'ailleurs il me semble que la seule étape où K=R est essentiel est la question 2 et plus précisément l'utilisation de l'égalité des accroissements finis. Du coup, comment faire ?

Je vous joins l'énoncé ainsi que mes réponses aux 5 premières questions (je doute un peu de ma rédaction à la question 5).
Cordialement.

[invite57a1e779]

Bonjoru,

Tu es dans l'esprit de l'exercice mais :

— je ne comprends pas, à la deuxième ligne de la question 2, comment il se fait que la fonction f change subrepticement d'intégrale...

— tu as un problème à la question 5 : les u_k dépendent de n (cela se voit dans leur valeur, mais pas dans leur notation), donc les c_k dépendent eux aussi de n, et on ne peut pas passer à la limite comme tu le fais lorsque n tend vers l'infini.

[invited5e782d8]

Merci pour tes réponses.

1. Les intégrales doubles ne sont pas au programme de première année, alors il est vrai que j'ai effectué ce calcul un peu à l'aveugle.. Le fait de changer f d'intégrale est donc faux, bien que les variables d'intégration sont les mêmes ? Pourquoi ?

2. Ici aussi j'y vais en essayant ^^. Par contre je ne comprends pas clairement le problème. Est-ce cela provient du fait que, comme ck dépend de n, il va varier lorsque n tend vers +infini. Or tendre vers une limite revient à s'approcher d'un réel fixé ou des infinis, ce que ck n'est pas.. ?
Du coup, est-ce qu'il faudrait que je remplace ck par une nouvelle lettre alpha, et conserver le raisonnement, ou faut-il faire autrement ?