pb fonctions continues-dérivable

[maatty]

Bonsoir à tous ,
je suis tombé sur un exercice sur lequel je sèche complètement et si quelqu'un voulais bien me donner une piste, je lui en serait reconnaissant.
On considère un rationnel r positif.
on doit montrer que pour tout réel positif x, il existe un nombre positif ou nul, unique, noté f(x) tel que: f(x)*exp ((f(x))= x^r.
On doit alors dans un deuxième étudier la dérivabilité sur R+ de la fonction f définie ci-dessus et déterminer f'.

A vrai dire, je n'ai aucune idée de début de démonstration, je tourne en rond à essayer de trouver f .
- J'ai commencé par écrire r= p/q puis essayer de manipuler les propriétés algébriques des puissances (et des log).
- j'ai naturellement constaté la nécessité d'avoir f(0)=0
et.... c'est tout.
Une piste serait la bienvenue.
D'avance je vous remercie
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[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas fait les calculs, donc je ne peux pas vous garantir que ce qui suit est une bonne piste :

Avez vous utilisé la réciproque de

[maatty]

Non je n'ai pas essayé; pourquoi r n'intervient pas?
Pourrais-je vous demander ce qui vous donne l'idée d'essayer cette fonction

[Médiat]

Déjà, pour montrer que la fonction existe, il faut montrer que l'équation (d'inconnue ) admet une et une seule solution dans le domaine concerné.

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

le théorème des valeurs intermédiaires doit suffire, y->y*exp(y) est une bijection de R+ dans R+ donc on a existence et unicité de la solution qu'on peut appeler f(x).

[maatty]

Jusque là je pense suivre mais je ne vois toujours pas où intervient la rationalité de r. et la bijection réciproque de x->x*exp(x)

[Médiat]

Ben cela vous donne que, en appelant g cette réciproque : .

Comme je vous ai dit, je n'ai pas fait les calculs, donc je ne peux vous garantir que l'on aboutit ...