Groupe dérivé et non commutativité

invite0b5bb75e · 21/05/2016, 05h10

Bonjour,

Le groupe dérivé D(G) et le centre Z(G) mesurent, chacun à leur manière, le défaut de commutativité d'un groupe... cela est d'ailleurs assez "flou" (à part que Z(G)=G et D(G)={e} si G est abélien).

Il semble qu'il n'y ait aucune relation entre eux: est-ce vrai? cela semble surprenant, non?

Merci.

**Resartus** · 21/05/2016, 08h18

Bonjour,

Vous pouvez essayer de lire ceci :
http://math.stackexchange.com/questi...utator-duality

La réponse fait appel à des notions très complexes, mais le livre indiqué en référence est peut-être plus accessible....

invite9dc7b526 · 21/05/2016, 08h31

Envoyé par Keres0

Le groupe dérivé D(G) et le centre Z(G) mesurent, chacun à leur manière, le défaut de commutativité d'un groupe...

est-ce que ce ne serait pas plutôt G/Z(G) qui mesure le "défaut de commutativité" de G?

invite0b5bb75e · 21/05/2016, 10h20

@Resartus: merci, ça me donne une piste.

@minushabens: à mon avis c'est pareil: tu "mesures" à quel point G est proche de Z(G) ou tu "mesures" à quel point G/Z(G) est proche de {e}.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 21/05/2016, 11h26

Bonjour,

Sauf erreur de ma part :
On considère le morphisme de groupes suivant : $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et d'après le théorème de factorisation : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ . est ce correct ?

Cordialement.

invite57a1e779 · 21/05/2016, 11h36

Envoyé par chentouf

On considère le morphisme de groupes suivant : $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ .

Quel élément de G la notation [G,a] désigne-t-elle ?

invitecbade190 · 21/05/2016, 11h46

Ah oui, c'est vrai, je n'ai pas fait attention. $\text{[math]}$ et non pas : $\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 21/05/2016, 13h47

Sauf erreur de ma part, au lieu d'écrire : $\text{[math]}$ , on peut écrire : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ un système inductif sans flèches, et $\text{[math]}$ , non ? mais, on devrait avoir : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
est ce que c'est ça ?

invite57a1e779 · 21/05/2016, 13h59

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$

Pourrait-on avoir la preuve de ces égalités ?

invitecbade190 · 21/05/2016, 14h07

Je ne sais pas les montrer, c'est devenu automatique. Alors, je préfère ne pas discuter de ça. Je préfère passer directement au cœur du problème, et non à ces extrêmes. SI tu vois une erreur, tu la corriges directement.

invite57a1e779 · 21/05/2016, 14h16

La proposition de morphisme est incompréhensible dès lors que l'ensemble d'arrivée de la fonction f n'est pas défini puisqu'on ne peut pas vérifier que l'expression proposée pour f(a) lui appartient.

Si tu ne sais pas montrer que les différents ensembles sont égaux.. c'est peut-être parce qu'ils ne le sont pas.

Prouver la cohérence de ta définition est de ton ressort, pas de celui de tes lecteurs.

invitecbade190 · 21/05/2016, 14h57

Sauf erreur de ma part :
$\text{[math]}$ car, par définition : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ par le morphisme : $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , par définition d'un système inductif sans flèches.

La troisième égalité résulte du fait que : $\text{[math]}$ par le morphisme : $\text{[math]}$

invitecbade190 · 21/05/2016, 15h04

Pardon :
La troisième égalité résulte du fait que : $\text{[math]}$ par le morphisme : $\text{[math]}$

invitecbade190 · 21/05/2016, 15h33

Pardon :
La troisième égalité résulte du fait que : $\text{[math]}$ par le morphisme : $\text{[math]}$

edit : je ne sais pas, aidez moi.

invite57a1e779 · 21/05/2016, 15h36

Quelle est la définition de l'ensemble $\text{[math]}$ ?

invitecbade190 · 21/05/2016, 15h44

$\text{[math]}$ par définition.
Donc, $\text{[math]}$
non ?

invite57a1e779 · 21/05/2016, 15h54

Quelle est la définition de l'ensemble $\text{[math]}$ ?

invitecbade190 · 21/05/2016, 16h01

$\text{[math]}$ est une fibre intrinsèque du fibré principal : $\text{[math]}$ tels que : $\text{[math]}$ parce que : $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 21/05/2016, 16h16

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$ .

C'est trivialement faux, mais tu ne t'en rends pas compte parce que, comme toujours, tu camoufles ton incapacité à faire des mathématiques en utilisant un vocabulaire et des notions qui te dépassent et qui n'ont rien à faire dans le problème envisagé, et qui ne fournissent aucune piste réelle pour aider celui ou celle qui a posé la question initiale.

invitecbade190 · 21/05/2016, 16h23

Si c'est pour m'aider à contourner le problème d'accord, mais si c'est pour te gonfler sur moi, alors, dégonfle toi. J’arrête la discussion.

invite57a1e779 · 21/05/2016, 16h46

Je considère le groupe symétrique d'ordre 3 $\text{[math]}$ qui a 6 éléments : l'identité, les transpositions $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , les cycles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Les ensembles $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont soi-disant égaux avec le dernier contenu dans $\text{[math]}$ : ils n'ont au plus que 6 éléments. Peux-tu donner la liste de leurs éléments et les isomorphismes qui permettent de les identifier ?

Pour chaque élément (il n'y en que 6!!) quel est son image par le soi-disant morphisme de groupe $\text{[math]}$ ?

Ce travail est moins gratifiant que l'évocation des systèmes inductifs sans flèches et des fibrés principaux, mais il me permettra de comprendre la situation sur un exemple simple où tous les calculs sont praticables explicitement.

invitecbade190 · 21/05/2016, 16h55

D'abord, pour corriger l'erreur, pourquoi : $\text{[math]}$ est invalide ?

invitecbade190 · 21/05/2016, 17h10

Montrer que : $\text{[math]}$ revient à montrer que : $\text{[math]}$ , cela revient à montrer que : $\text{[math]}$ . Si c'est le cas, alors : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ , c'est à dire $\text{[math]}$ est abélien. ( Absurde )

invitecbade190 · 21/05/2016, 17h30

Voici une correction de ce que j'ai dit :
$\text{[math]}$ par définition.
Donc, $\text{[math]}$ et : $\text{[math]}$ .
J'espère que ça tient la route maintenant.

invitecbade190 · 21/05/2016, 17h37

Donc, $\text{[math]}$
et donc, $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 21/05/2016, 17h51

Envoyé par chentouf

D'abord, pour corriger l'erreur, pourquoi : $\text{[math]}$ est invalide ?

Tu te réfugies toujours dans une théorie que tu ne maîtrises mais que tu essaies désespérément de développer dans les messages qui suivent, mais tu n'es visiblement pas capable de l'utiliser dans un cas concret.

Voici un contre-exemple à ton assertion : le groupe $\text{[math]}$ est le groupe multiplicatif $\text{[math]}$ . Je considère les éléments suivants de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Donne-moi les isomorphismes entre $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

De même, j'aimerais voir fonctionner ta théorie dans le cas du groupe symétrique d'ordre 3, le plus petit groupe non commutatif et obtenir des réponses à mon message #21 : si tu ne peux pas convaincre que tes résultats sont valides dans ce cas, il sera difficile de te croire pour des groupes plus compliqués.

invitecbade190 · 21/05/2016, 17h55

Pas besoin d'écrire tout ce pavé pour finalement ne rien dire. La réponse se trouve déjà dans le message : 23

invite57a1e779 · 21/05/2016, 17h57

Je corrige une faute de frappe dans le message précédent :

$\text{[math]}$

**Seirios** · 22/05/2016, 08h18

Juste au cas où une âme sensible viendrait lire la discussion, à noter que l'isomorphisme suivant, qui a été mentionné plus haut, est incorrect.

Envoyé par chentouf

c'est à dire : $\text{[math]}$ .

Pour un contre-exemple, il suffit de prendre le groupe symétrique $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ est trivial et $\text{[math]}$ est le groupe alterné, qui n'est absolument pas isomorphe à $\text{[math]}$ (l'un est simple, et pas l'autre). Pour d'autres exemples, on peut regarder les groupes libres, ou plus généralement des produits libres.

invitecbade190 · 22/05/2016, 10h51

Envoyé par chentouf

Sauf erreur de ma part, au lieu d'écrire : $\text{[math]}$ , on peut écrire : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ un système inductif sans flèches, et $\text{[math]}$ , non ? mais, on devrait avoir : $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
est ce que c'est ça ?

On l'a déjà expliqué ici, ce n'est pas un homomorphisme pour que ça fonctionne. Donc, celui qui suit la discussion attentivement, il aura saisi ça sans chercher de contre-exemple.

Groupe dérivé et non commutativité

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