gradient norme et produit vectoriel

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
petite question sur l'egalité suivante :

(naturellement on manipule des vecteurs meme si il n'y a pas de fleches et qu'ils ne sont pas en gras)

Y a t-il moyen de démontrer ce résultat sans passer sous la forme "vectorielle" et effectuer le produit ? C'est a dire le demontrer juste en jouant sur les definitions des differents éléments ?

merci d'avance pour vos réponses
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je considère les applications suivantes (les vecteurs sont en gras pas toujours très visible, pas les scalaires ) :



dont les différentielles sont immédiates à calculer (applications linéaires, bilinéaires, …).

Ta question porte sur l'application : les règles usuelles de calcul sur les fonctions composées te fournissent la différentielle, et par suite le gradient.

[theophrastusbombastus]

avant tout merci de votre réponse et de votre rapidité

je me suis pas encore pencher plus dans ce que vous m'avez donner mais j'ai deux trois incompréhensions. Dans les parenthéses vous avez poser une fonction a laquelle il faut deux vecteurs mais je n'en vois qu'un partie, ca doit etre sous entendu donc faut que je m'y replonge comme y faut et a la fin on se retrouve avec a laquelle y faut un scalaire (qui doit etre ) et une fonction vectorielle () mais il semble manquer mon donc il faudrait (en inversant pour respecter l'antisymetrie) mais avant de dire qu'il y a une erreur j'vais quand même vérifier parce que je me hate vite avant meme de vraiment verifier x)

en fait j'aurais du poser ma question comme ca :
soit déterminer son gradient. C'est là que j'ai trouvé mais en posant les vecteurs colonnes pour x et a et en effectuant le produit vectoriel, j'aurais voulus une méthode plus élégante, comme celle que vous m'avez proposé avec les compositions de fonction en fait.

Ensuite je vais vous rajouter une question, calculer le gradient de .
pour trouver la solution :
donc avec mon résultat précédent :

cela semble t-il correct ?

Et enfin dernière chose (apres je ne vous ennuie plus) il me faut le laplacien de
je pensais calculer la divergence du gradient que j'ai trouvé mais ca me semble fastidieux... y aurait il des astuces ? (ou alors les simplifications se font elles d'elles memes ?)

encore merci pour le temps que vous m'accorder

[invite57a1e779]

Bonjour,

En me relisant, je m'aperçois que je me suis trompé de formule : j'ai formalisé la valeur du gradient, et pas la fonction dont on calcule le gradient.

On commence par utiliser l'application pour manipuler .
On utilise ensuite l'application pour dédouble le résultat précédent dans un couple : .

Ces deux applications sont linéaires, donc le calcul de leurs différentielles est immédiat.

Ensuite on utilise qui est le nom que je donne au produit scalaire : .
On rajoute une couche avec bilinéaire, donc de différentielle connue.

Reste à composer avec la racine carrée.

Mais le plus simple est de calculer un développement limité (je ne pratique plus le gras pour les vecteurs ):



Les propriétés du produit mixte fournissent, pour tout vecteur : .
Pour ce qui nous intéresse, avec :



ce qui fournit le gradient :



Mais en fait, tu n'as besoin que du gradient de : .

Le développement dont tu as réellement besoin est :



qui fournit, en utilisant le double produit vectoriel :
puis, avec les propriétés usuelles de la divergence :



Avec le vecteur :



et finalement :

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

WA-HOU,
milles merci je n’espérais pas une réponses aussi complète, c'est vraiment super sympa d'avoir passer autant de temps pour m'expliquer ca !

La démonstration avec le DL est plus que satisfaisante, voir carrément élégante pour la 1er partie puis pour le Laplacien... bah c'est vraiment complet, même plus de questions !

encore merci pour votre aide !