Corps de matrices

[invite0731164c]

Bonjour,

Existe t-il un sous ensemble de matrices 2x2 qui soit un corps quand on le considère avec l'addition et la multiplication matricielle?
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[Médiat]

Bonjour,

Je suppose que vous parlez de matrices réelles, la réponse est oui, il est facile de trouver un sous ensemble qui soit isomorphe au corps R, et il en existe un bien connu qui est isomorphe à C

[gg0]

Bonjour.

Il en existe plusieurs, comme par exemple l'ensemble des matrices pour k variant dans , sous corps de l'ensemble, pour a et b variant dans des matrices de la forme qui est un corps qui sert souvent de définition pour .
Je n'ai aucune idée s'il en existe d'autres.

Cordialement.

[gg0]

Désolé, Médiat,

j'ai répondu avant de voir ton message (je tape lentement ), et j'ai défloré les indications que tu donnais.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La réponse précédente vise, me semble-t-il, des sous-anneaux de qui sont des corps.

On peut trouver des sous-ensembles de qui sont des corps pour les lois induites sans être pour autant des sous-anneaux.

Par exemple l'ensemble des matrices de la forme lorsque décrit .

[invite0731164c]

La réponse précédente vise, me semble-t-il, des sous-anneaux de qui sont des corps.

On peut trouver des sous-ensembles de qui sont des corps pour les lois induites sans être pour autant des sous-anneaux.

Par exemple l'ensemble des matrices de la forme lorsque décrit .

Et les éléments de ce corps devraient être inversible (c'est le cas même si le déterminant vaut 0?)

[invite57a1e779]

Je note : et, pour toute matrice non nulle : .

Alors :



ce qui établit que est l'élément unité de ce corps, et que est inversible d'inverse .

J'ai bien précisé que j'obtenais un corps pour les lois induites par celles de , mais que ce corps n'était pas un sous-anneau de : il n'y a donc aucune raison que les règles usuelles pour inverser les matrices soient conservées.

[invite9dc7b526]

joli cet exemple! je ne connaissais pas du tout.

[gg0]

Effectivement,

on prend une matrice non nulle M qui vérifie M²=M (et joue le rôle de l'unité), et l'ensemble des kM pour k réel quelconque. Bien vu !

Cordialement.

[invited3a27037]

bonsoir

Intéressant cet exemple de GB, j'ignorais qu'on pouvait trouver une partie d'un anneau qui se comporte comme un anneau (ici un corps) mais avec un élément unité (et donc des inverses) différent de celui de l'anneau englobant.

[Médiat]

Bonsoir,

C'est un très bel exemple, généralisable à toutes les algèbres sur un corps ayant des éléments idempotents non triviaux.

[stefjm]

Bluffant!
Cela donne envie de voir ce qu'on peut faire avec cet exemple pour