Matrices à coefficients dans un corps quelconque

[invite14e03d2a]

Bonjour,

je me posais une question sur les matrices carrées dont les coefficients sont pris dans , avec p premier, et leur relation avec les matrices à coefficients entiers (pour simplifier, je dirai "matrice entière").

Si M est une matrice entière, je note [M] la matrice dont coefficients sont les classes d'équivalence modulo p des coefficients de M. Inversement, si N est à coefficients dans , il existe plusieurs matrices entières M telles que [M]=N. J'appelle M un "relevé" de N. Deux relevés différent d'une matrice entière dont tous les coefficients sont divisibles par p.

Ma question porte sur le lien entre l'inversibilité d'une matrice à coefficients dans et l'inversibilité de ses relevés. Plusieurs questions naturelles:

1) Si M est une matrice entière inversible dans , est-ce que [M] est élément de ? La réponse est clairement non.
2) Si M est une matrice entière inversible dans , est-ce que [M] est élément de ? Là, la réponse est oui.
3)Si N est élément de et M est un relevé de N, a-t-on M élément de ? élément de ? Là encore, la réponse est oui pour la première question et non pour la seconde.
4) Si N est élément de , existe-t-il un relevé de N qui soit dans ?

Je n'arrive pas à trouver la réponse à cette 4ème question? Quelqu'un aurait-il une idée? J'imagine que la réponse est oui (et que la preuve utilise le thèorème de Bezout) mais sans arriver à le prouver.

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Si , la matrice appartient à , d'inverse , mais aucun relèvement de n'appartient à .

Une condition nécessaire est que dans .

[invite14e03d2a]

Merci pour ce contre-exemple