décomposition en produit de facteur irreductible

[lolo1546]

Bonjour j'ai un exercice dont je suis bloqué et j'ai besoin d'aide s'il vous plait

Soit a∈IR on considère le polynôme suivant : P(X)= X^(4) +(a+1)X^(2) +a.
1. Donner, suivant les valeurs de a, la décomposition en produits de facteurs irréductibles de P sur R et sur C.

Pour le début j'ai fais
soit Y²=X^(4)

donc on a P(Y)=Y²+(a+1)Y+a
est ce que je dois calculer le discriminant ??
merci
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[invitee91b9d97]

Bonjour, avant tout je te conseille de décomposer en facteur premiers sur .
Pour cela, il suffit de résoudre dans l'équation d'inconnue : .
Tu as eu la bonne idée pour le changement de variable : posons , résolvons alors .
Pas besoin du discriminant ici : en regardant les coefficients, on peut remarquer que est une solution "évidente".
Or on sait que le produit des racines et vaut , donc on en déduit que .
Il faut maintenant déterminer les solutions des équations et .
Puisque l'on travaille dans , on peut d'ores et déjà affirmer que ces deux équations auront exactement deux solutions conjuguées distinctes si .
(il faudra donc traiter le cas où séparément.)
Si j'appelle et les solutions de et et les solutions de , avec non nul, la décomposition dans sera .
Enfin, la décomposition dans se déduit facilement en effectuant les produits et .
Pourquoi ? Parce que les racines mises en évidence dans ces produits sont conjuguées donc les produits donneront des polynômes à coefficients réels !
Rappel : .

[Médiat]

Bonjour Dinozzo13,

Rappel :

Pour ceux qui l'auraient oublié, le but premier de ce forum n'est pas d'être un supermarché où chacun vient avec un énoncé et repart avec une solution, mais plutôt d'engager des discussions et débats scientifiques.

Merci de lire : http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html

Médiat, pour la modération

[invitee91b9d97]

Bonjour, mon but n'était pas de donner des solutions, croyez-le bien, mais d'expliquer et de guider. Je ne pense pas avoir donner de "grosses" réponses mais plutôt une méthode.
Si j'ai enfreint le règlement, je m'en excuse, ce n'était pas l'objectif...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lolo1546]

ah d'accord maintenant j'ai compris
merci pour cette méthode

[lolo1546]

j'ai trouvé les solutions pour Z²=-1
mais comment peut on ecrire -a sous forme exponentielle ?? car -1 sous forme exponentielle c'est exp(i π) (π = pi)
cordialement

[invitee91b9d97]

D'ailleurs, je viens de voir que est réel ! Et moi qui croyait qu'il était complexe.
Ben dans ce cas, ça va faciliter les choses : puisque est réel, il n'y a que deux possibilités : soit , soit (j'enlève le cas ).
Si a>0 alors quelle est l'expression exponentielle complexe de a ?
Si a<0 alors quelle est l'expression exponentielle complexe de a ?

Si tu as du mal à voir les choses, demande-toi ce qui se passe pour (le module mais surtout) l'argument de a suivant qu'il est strictement positif ou strictement négatif.

[lolo1546]

a>0
z²=-a
module = a
or l'argument=(partie réelle) /( module)
donc argument = 1 = exp(i*2pi)
?????
est ce que c'est bien ça?

[lolo1546]

les solutions pour Z²=-1
(X²+1)
mais pour Z²=-a =-a+i*0
donc module=a
argument=(reelle/module)=(a/a)=1=exp(2pi)????

[gg0]

Bonjour.

"donc argument = 1" ??? Je ne vois pas d'où tu peux sortir cela.
Même avec ton absurde formule "or l'argument=(partie réelle) /( module)" ça ne donne pas ça !!!!

Tu ferais bien de revoir le cours de terminale sur les complexes.

A noter : le module et les arguments de -1 sont évidents (représenter dans le plan complexe).