Automorphismes de K[X]

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Soient un corps commutatif, l'anneau des polynômes à une indéterminée sur .
- Montrer que tout automorphisme d'anneaux : laisse invariant et induit sur un automorphisme de ce corps.
- Montrer qu'on a nécessairement : avec : et .
Réciproquement,
- Montrer que la donnée d'un automorphisme : de et de deux éléments tels que : , définit un automorphisme : et un seul tel que : et .

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Commencer par regarder les inversibles de K[X].

[invitecbade190]

Bonsoir,

Les inversibles de sont les inversibles de .
Si est un automorphisme d'anneaux, alors :
Alors, je ne vois pas pourquoi : .

[invitecbade190]

Je sais montrer que : , mais pas : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Je sais montrer que : .

Et comment démontrez-vous cela pour les corps de caractéristique différentes de 0 ?

[invitecbade190]

Bonjour,

Et comment démontrez-vous cela pour les corps de caractéristique différentes de 0 ?

Oui, c'est vrai. Si est de caractéristique différente de , alors, il ne contient pas .
Pourquoi alors, ?
Merci d'avance.

[Médiat]

Pourquoi devrait-il être vrai (cela ne l'est pas) ?

[invite5357f325]

Un morphisme d'anneaux envoie un élément inversible sur un élément inversible. Les éléments inversibles de A[x] sont les polynômes p avec a_0 inversibles et a_1, ..., a_n nilpotents. Comme un corps n'a pas d'éléments nilpotent on en déduit que p doit être un élément de K. Donc f envoie K sur K. En considérant l'inverse de f on voit que f(K) = K, donc f induit un automorphisme de K. Évidemment X ne peut être envoyé que sur un élément de degré 1, donc l'image de X est de la forme aX+b. Très facilement n'importe quel choix de a (non nul) et b fournit bien un automorphisme de k[X].

[invitecbade190]

Bonjour petrifie :
Merci pour ta réponse.
Tu affirmes que :

Évidemment X ne peut être envoyé que sur un élément de degré 1, donc l'image de X est de la forme aX+b. Très facilement n'importe quel choix de a (non nul) et b fournit bien un automorphisme de k[X].

Peux tu me fournir une démo assez rigoureuse sur le fait que : ? comme ici : http://www.les-mathematiques.net/pho...,867141,867775 , mais sur ce lien, on n'explique pas comment j'ai l'impression.
Merci d'avance.

[invite57a1e779]

L'argument fondamental est pourtant donné ici.

[invite23cdddab]

Si f(X) est de degré strictement plus grand que 1, quel élément P aurait pour image X?

Vu que si f(X) est de degré n, f(X^k) est de degré kn, tu risques d'avoir du mal à obtenir un élément de degré 1

[invitecbade190]

D'accord. Merci Tryss2 et gb pour vos réponses.
et pour cette dernière question :
Montrer que la donnée d'un automorphisme : de et de deux éléments tels que : , définit un automorphisme : et un seul tel que : et .
J'ai l'impression qu'il faut établir l'existence et l'unicité, non ?
Pour l'existence, il suffit de poser : , non ?
Merci d'avance.