Problème : problème de Cauchy

[invitec8093774]

Bonjour, je dois résoudre cette équation :

2yy' = 1+4y² avec y(1)=(sqrt((e^4)-1))/2

Comme il n'y a pas de dépendance en x initialement, je dois utiliser la méthode de variation de la ocnstante. Cependant, je ne la maîtrise pas bien d'ou le fait que je vienne ici demander votre aide. Si vous pouviez me donner un exemple de résolution ? En fait, non, plus précisement dans une équation de type :
y'-y=e^x avec y(2)=3

Je sais faire varier la constante en posant y(x)=K(x).e^x pour trouver la solution particulière.

Mais comme l'équation qui me pose problème est non linéaire je suis un peu perdu... Donc si pouviez m'aider à appliquer la méthode de variation de la constante dans le cas d'équations non linéaires ça serait super !

Merci de votre aide !
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Comme il n'y a pas de dépendance en x initialement, je dois utiliser la méthode de variation de la ocnstante.

Quelle horreur !!

Donc si pouviez m'aider à appliquer la méthode de variation de la constante dans le cas d'équations non linéaires ça serait super !

La méthode de variation de la constante est spécifique aux équations linéaires.

Comme il n'y a pas de dépendance en x initialement, tu dois séparer les variables :



puis tu primitives cette égalité, ce qui introduit une constante d'intégration dont tu règles le sort en utilisant la valeur de y(1).

[invitec8093774]

Ah oui en effet je suis fatigué j'ai lu dans la consigne "variation de la constante" au lieu de "séparation des variables", c'est plus logique maintenant^^

Même si après avoir essayé cette technique je ne tombe toujours pas sur la bonne réponse :/

Avant de calculer mes intégrales selon leurs bornes elles valent : (ln(1+4y²))/2 = x²/2
J'ignore si elles sont bonnes, j'espère que non parce qu'après je ne vois pas ou j'aurais pu commettre une erreur :/
Pour info ma réponse finale est y(x)=sqrt(e^(2x²+14)-1)/4 et que la bonne réponse est : y(x)=sqrt(e^(4x)-1)/2

[invite57a1e779]

Avant de calculer mes intégrales selon leurs bornes elles valent : (ln(1+4y²))/2 = x²/2

Une primitive de 1 n'est certainement pas en x².

Il est souvent utile de vérifier un calcul de primitive en dérivant le résultat obtenu…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8093774]

Ah oui en effet, désolé.

Du coup j'ai la bonne réponse^^

Bah merci beaucoup je suis un peu gêné de t'avoir sollicité pour une faute d'inattention, mais merci de ta patience en tout cas !

[invite23cdddab]

A noter qu'on peut se ramener à une équation linéaire, en posant u = y²

Et alors l'équation devient u' = 1+4u