Produits semi-directs de groupes

[Gian_Marco]

Bonjour à tous,

Je m'intéresse actuellement à la notion de produit semi-direct de deux groupes, et j'ai une question d'isomorphisme à vous proposer.. Je commence par expliquer un peu ce qu'il faut savoir des produits semi-directs (externes, il en existe une autre version « interne » dont on peut se passer ici) pour analyser le problème.

On appelle opération à gauche d'un groupe G sur un groupe H toute application de GXH sur H (où on note ici g->h l'image de (g,h)), vérifiant, pour tous g,h,g',h' :
1) g->(hh')= (g->h)(g->h')
2) (gg')->h=g->(g'->h)
3) 1G->h=h.

Une telle opération permet de définir la loi de groupe sur HXG dite de produit semi-direct : (h,g)(h',g')=(h(g->h'),gg'). (Elle est plus simple à repérer quand on la définit sur HXG plutôt que sur GXH.)

De même, on appelle opération à droite de G sur H toute application de HXG sur H (on note maintenant h<- g le résultat) vérifiant :
1) (hh')<- g= (h<- g)(h'<- g)
2) h<- (gg')= (h<- g)<- g'
3) h<- 1G=h.

Une opération à droite permet de définir la loi de groupe sur GXH : (g,h)(g',h')=(gg',(h<- g')h').

Les deux «orientations » d'une opération ne diffèrent que par la propriété 2). Parfois, elles coïncident, par exemple lorsque G est commutatif. Mais pas seulement (on peut voir assez simplement que cela se produit lorsque le dérivé de G est inclus dans le noyau de l'application, je pourrais détailler ceci au besoin). On dira que l'opération à gauche -> est « bilatère» lorsque en posant h<- g=g->h, on définit une opération à droite ->.

Voici enfin ma question : il paraît naturel, en tout cas on a bien envie, que si l'opération -> est bilatère, les deux produits semi-directs définis par -> et <- sont identiques, c'est-à-dire isomorphes. Je sais le démontrer lorsque G est commutatif, et dans pas mal d'autres cas. Mais je n'ai pas trouvé d'isomorphisme explicite qui convienne dans le cas général (pour toute opération bilatère). Si bien que je me demande même si ce ne serait pas faux. Mais, pas mieux ! je n'ai trouvé aucun contre-exemple.

Je fais appel aux forumeurs : avez-vous déjà rencontré ce problème, connaissez-vous la réponse ? Pouvez-vous trouver un isomorphisme dans le cas général d'opération bilatère, ou un contre-exemple ?

Un grand merci à qui voudra bien s'intéresser à mon problème!
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[Gian_Marco]

Je relis mon texte et je m'aperçois qu'il est truffé de petites étoiles (*). Il ne faut tenir compte d'aucune, j'ignore la raison de ce parasitage. Excusez ce défaut, dû à mon inexpérience de ce traitement de texte.

[Médiat]

Bonjour,

J'ai remplacé les * par des espaces (j'ai l'impression que dans votre traitement de textes, les * remplacent les espaces insécables).

[Gian_Marco]

Merci, c'est (j'espère) beaucoup plus clair ainsi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Au risque d'écrire une bêtise, il me semble que, si on prend l'application g-1->h (c'est à dire que pour tout élément a de g, on fait la transformation en utilisant son inverse a-1), on obtient une transformation qui satisfait les critères d'application à droite, et va fournir le même produit semi direct que l'opération gauche de départ, sans qu'il y ait besoin d'ajouter votre contrainte additionnelle de bilatéralité.

[Gian_Marco]

Bonsoir Resartus,

Oui oui, il est vrai que si on pose h<-g = g^(-1)->h, on obtient bien dans tous les cas une opération à droite ->. Dans ce cas je sais trouver un isomorphisme entre les deux produits semi-directs (précisément en posant
F(h,g)=(g,g^(-1)->h)=(g,h<-g)).

Ma question hélas semble plus compliquée : lorsque justement on a une opération bilatère, cela définit une seconde opération à droite h<-- g= g-> h, donc un autre produit semi-direct sur GXH, et je ne sais pas s'il est isomorphe aux deux premiers.

Merci en tout cas de vous intéresser à mon problème.

Cordialement

[Seirios]

J'ai l'impression que la question est équivalente à la suivante :

On se donne un morphisme avec une image abélienne (ou, ce qui revient au même, avec le sous-groupe dérivé dans le noyau de ). On définit ensuite deux groupes : , en munissant de la loi ; puis , en munissant de la loi . A-t-on et isomorphes ?

Ce point de vue à l'avantage de pouvoir trouver des exemples d'actions bilatères assez facilement. En particulier, tu pourrais tester les groupes en prenant de petits exemples de groupes non abéliens.

[Gian_Marco]

Bonjour Seirios,

C'est bien ça en effet, c'est une autre façon de poser le problème. La notion d'opération d'un groupe G sur un autre H peut se traduire par un morphisme de G dans Aut(H) et le problème tel que tu le poses est bien exactement le même.

J'ai déjà pas mal testé. les "petits groupes non abéliens" finissent toujours par être assez gros, surtout quand on veut que le dérivé ne le soit pas trop sinon l'opération devient vite assez simple (puisque son noyau doit contenir le dérivé). Et dans ce cas on trouve assez facilement des isomorphismes, ce qui fait qu'on n'a ni contre-exemple ni preuve générale de l'isomorphisme. C'est là qu'est l'os (!...) Je n'ai absolument aucune intuition sur la réponse : y a-t-il des contre-exemlples (sans doute pas simples) ou une preuve générale (dont je n'imagine pas le début).

Ce qui m'étonne c'est qu'apparemment ce problème n'est pas connu, alors qu'il s'agit quand même de savoir si une opération d'un groupe sur un autre (ou un morphisme de G dans Aut(H)) peut parfois définir deux produits semi-directs différents, ce qui serait quand même intéressant.

Merci beaucoup, cordialement.