[exercice] Equations cartésiennes

[invite452e493b]

Bonjour,

Je révise une annale importante et n'ayant pas les réponses, j'ai besoin de votre aide.

Voici les données de l'exercice

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Le Plan P satisfait les propriétés suivantes :

• P passe par le point A(3, 2, 0)
• P contient la droite D passant par A et dirigée par le vectur u(1, 1, 0)
• P contient toutes les droites sortant des points de D et dirigées par le vecteur v(2, 1, 2)

Il faut donner l'équation cartésienne, ainsi qu'une représentation paramétrique.

Grâce au vecteur normal n(1, -1, -1/2) à P que j'ai calculé, je trouve P=x-y-(1/2)z-1=0

Je trouve grâce aux vecteur u, v et le point A, la représentation paramétrique de P avec μ et λ appartenant à R², P : {x=3+λ+2μ, y=2+λ+μ, z=2μ}

Première question : Est-ce que mes réponses sont correctes, j'ai surtout des doutes pour la représentation paramétrique.

Deuxième question :Ensuite, on veut connaitre les équations cartésiennes, ou les représentations paramétriques de tous les plan P' de l'espace R³ qui intersectent P exactement aux points de la droite D. J'ai trouvé l'équation cartésienne d'un plan particulier P' perpendiculaire à P (P'=x-y+4z-1=0, je vois d'ailleurs que c'est z qui change par rapport a l'équation de P), mais je ne sais pas comment les trouver tous. JE visualise bien le phénomène du plan P' qui fait une rotation, avec un axe de rotation en D.

Pouvez vous m'orienter, m'aider ? Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

les plans que tu cherches sont dirigés par u et par un vecteur normal à u. Tu peux déterminer tous les vecteurs normaux à u et en déduire les équations cherchées.
Une autre méthode est de prendre l'équation à priori ax+by+cz+d=0 (avec (a,b,c)#(0,0,0)) et de dire que les points de la droite la vérifient.

Cordialement.

[invited3a27037]

bonjour

Tu as les équations de 2 plans P et P' qui contiennent la droite D:

P: x-y-(1/2)z-1=0
P': x-y+4z-1= 0

Il est simple d'obtenir l'équation de tous les plans qui passent par D

m( x-y-(1/2)z) + n(x-y+4z-1) = 0 où m et n sont deux paramètres.

[invite452e493b]

bonjour

Tu as les équations de 2 plans P et P' qui contiennent la droite D:

P: x-y-(1/2)z-1=0
P': x-y+4z-1= 0

Il est simple d'obtenir l'équation de tous les plans qui passent par D

m( x-y-(1/2)z) + n(x-y+4z-1) = 0 où m et n sont deux paramètres.

Merci, mais qu'entends tu par paramètres ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

Il y a une infinité de plans qui contiennent la droite D. Leurs équations dépendent forcément d'un paramètre.
Dans ma solution il y en a deux (m et n) mais un seul suffit.