Bonjour à tous!
J'ai un DM de maths à faire mais certains exos me posent problème:
ABC est un triangle rectangle en A, G est l'isobarycentre de A,B,C ; R,S,T sont les points définis par BR=1/4BC, CS=1/4CA et AT=1/4AB (vecteurs).I milieu de [AB] et J milieu de [BC].
1°Démontrer que G est l'isobarycentre de R,S,T.
2°a.*Exprimer T comme barycentre de A et B.
*Exprimer R comme barycentre de B et C.
*On note G'le milieu de [TR]
.Exprimer G' comme barycentre de A,B,C.
b.Démontrer que G', I et J sont alignés.
3°a.*Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de la droite (BC) dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
b.Déterminer et construire l'ensemble Delta des points M du plan tels que MA+MB+MC est colinéaire à BC (vecteurs).
*Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de Delta dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
*le point G'appartient-t-il à Delta?
*Que peut-on dire des droites (GG') et Delta?
Ce que j'ai fait:
1°G isobarycentre de A, B, C.On choisit (A,4)(B,4)(C,4).
S barycentre de (C,3) et (A,1)
T barycentre de (A,3) et (B,1)
R barycentre de (B,3) et (C,1)
Par associativité, de (A,4)(B,4)(C,4) on obtient (A,3) et (B,1); (C,3) et (A,1); (B,3) et (C,1) donc G isobarycentre de (T,4) (S,4) et (R,4).
2°a.*AT=1/4AB donc T barycentre de (A,3)(B,1).On a: 3TA+TB=0
*BR=1/4BC donc R bary de (B,3)(C,1).On a: 3RA+RB=0
*G' isobarycentre de (T,4)(R,4) donc TG'=1/2TR
TA+AG'=1/2(TB+BR)
AG'=1/2TB+1/2BR+AT
AG'=1/2(TA+AB)+1/2(1/4BC)+1/4AB
AG'=-1/2At+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
AG'=-1/2(1/4AB)+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
AG'=-1/8AB+1/2AB-1/8AB+1/4AB+1/8AC
AG'=1/2AB+1/8AC donc G' bary de (A,3) (B,4) (C,1)
b.Puisque G' bary de (A,3) (B,4) (C,1), par associativité on obtient (A,3)(B,3) et (B,1)(C,1) donc G' bary de (I,6) et (J,2)
Donc IG'=1/4 IJ donc G', I et J sont alignés.
3°a.*Dans le repère (A, AB, AC), BC= -AB+AC donc BC (vecteur)(-1; 1).On a donc x+y+c=0.
Soit C le point de coordonnées (0;1), C (BC) donc (x+y+c=0)(0+1+c=0)(c=-1)
Donc on a y=-x+1.
b.*Pour tout point M du plan, MA+MB+MC=3MG car G est l'isobarycentre de A, B et C.L'ensemble Delta est donc la droite parallèle à (BC) passant par G (M).
*Avec la même méthode, je trouve y=-x+2/3 mais en vérifiant avec les coordonnées de G' ça ne marche pas.G' est pourtant sur la droite, c'est visible sur la figure, et les droites Delta et (GG') sont confondues.
Comment trouver cette équation cartésienne???
Et est-ce que le reste est juste?
Merci^^
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Envoyé par Plancton 
je vais en discuter avec mes camarades (qui ne sont pas plus avancés que moi je le crains!
)