DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)
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DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)



  1. #1
    inviteddef7ea2

    DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)


    ------

    Bonjour à tous!
    J'ai un DM de maths à faire mais certains exos me posent problème:

    ABC est un triangle rectangle en A, G est l'isobarycentre de A,B,C ; R,S,T sont les points définis par BR=1/4BC, CS=1/4CA et AT=1/4AB (vecteurs).I milieu de [AB] et J milieu de [BC].

    1°Démontrer que G est l'isobarycentre de R,S,T.

    2°a.*Exprimer T comme barycentre de A et B.
    *Exprimer R comme barycentre de B et C.
    *On note G'le milieu de [TR]
    .Exprimer G' comme barycentre de A,B,C.
    b.Démontrer que G', I et J sont alignés.

    3°a.*Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de la droite (BC) dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
    b.Déterminer et construire l'ensemble Delta des points M du plan tels que MA+MB+MC est colinéaire à BC (vecteurs).
    *Déterminer une équation cartésienne (ou l'équation réduite) de Delta dans le repère (A,AB,AC)(vecteurs).
    *le point G'appartient-t-il à Delta?
    *Que peut-on dire des droites (GG') et Delta?

    Ce que j'ai fait:
    1°G isobarycentre de A, B, C.On choisit (A,4)(B,4)(C,4).
    S barycentre de (C,3) et (A,1)
    T barycentre de (A,3) et (B,1)
    R barycentre de (B,3) et (C,1)

    Par associativité, de (A,4)(B,4)(C,4) on obtient (A,3) et (B,1); (C,3) et (A,1); (B,3) et (C,1) donc G isobarycentre de (T,4) (S,4) et (R,4).

    2°a.*AT=1/4AB donc T barycentre de (A,3)(B,1).On a: 3TA+TB=0
    *BR=1/4BC donc R bary de (B,3)(C,1).On a: 3RA+RB=0
    *G' isobarycentre de (T,4)(R,4) donc TG'=1/2TR
    TA+AG'=1/2(TB+BR)
    AG'=1/2TB+1/2BR+AT
    AG'=1/2(TA+AB)+1/2(1/4BC)+1/4AB
    AG'=-1/2At+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
    AG'=-1/2(1/4AB)+1/2AB-1/8AB+1/8AC+1/4AB
    AG'=-1/8AB+1/2AB-1/8AB+1/4AB+1/8AC
    AG'=1/2AB+1/8AC donc G' bary de (A,3) (B,4) (C,1)
    b.Puisque G' bary de (A,3) (B,4) (C,1), par associativité on obtient (A,3)(B,3) et (B,1)(C,1) donc G' bary de (I,6) et (J,2)
    Donc IG'=1/4 IJ donc G', I et J sont alignés.

    3°a.*Dans le repère (A, AB, AC), BC= -AB+AC donc BC (vecteur)(-1; 1).On a donc x+y+c=0.
    Soit C le point de coordonnées (0;1), C (BC) donc (x+y+c=0)(0+1+c=0)(c=-1)
    Donc on a y=-x+1.

    b.*Pour tout point M du plan, MA+MB+MC=3MG car G est l'isobarycentre de A, B et C.L'ensemble Delta est donc la droite parallèle à (BC) passant par G (M).

    *Avec la même méthode, je trouve y=-x+2/3 mais en vérifiant avec les coordonnées de G' ça ne marche pas.G' est pourtant sur la droite, c'est visible sur la figure, et les droites Delta et (GG') sont confondues.
    Comment trouver cette équation cartésienne???
    Et est-ce que le reste est juste?
    Merci^^

    -----

  2. #2
    invite6ed3677d

    Re : DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)

    Bonjour

    Questions 1 et 2 : c'est bon. Attention à la rédaction du raisonnement par associativité ... on sent que tu as compris mais

    Par associativité, de (A,4)(B,4)(C,4) on obtient (A,3) et (B,1); (C,3) et (A,1); (B,3) et (C,1) donc G isobarycentre de (T,4) (S,4) et (R,4).
    ca ne veut pas dire grand chose ....
    Idem au 2b.

    Question 3 : les équations ont l'air justes ...
    Es-tu certain que G' est sur delta ?
    Je n'en suis pas si sur : on peut montrer que GG' et BC ne sont pas colinéraires !

  3. #3
    inviteddef7ea2

    Re : DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)

    Merci, Tonton Nano, je vais revoir ma rédaction
    Sinon, à moins que ma figure soit mal faite, on voit que G' est sur la droite Delta et puis si ce n'était pas le cas, pourquoi le prof nous demanderait-il de trouver une relation entre (GG') et Delta?

  4. #4
    invite6ed3677d

    Re : DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)

    Citation Envoyé par Plancton Voir le message
    Merci, Tonton Nano, je vais revoir ma rédaction
    Sinon, à moins que ma figure soit mal faite, on voit que G' est sur la droite Delta et puis si ce n'était pas le cas, pourquoi le prof nous demanderait-il de trouver une relation entre (GG') et Delta?
    C'est peut-être un piège ... ?
    Pour ma part, j'ai écrit GG' en faisant intervenir A, B et C et j'obtiens
    GG' = 1/24 CA - 1/6 BC
    CA et BC n'étant pas colinéaires, j'en ai déduit que GG' et BC ne le sont pas non plus ...

    Je vais vérifier en partant du début ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite6ed3677d

    Re : DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Je vais vérifier en partant du début ...
    Je confirme : GG' et BC ne sont pas colinéaires.
    En faisant un grand dessin, j'ai le même résultat. (GG') et (BC) se coupent du coté de C

  7. #6
    inviteddef7ea2

    Re : DM barycentres et équations cartésiennes (1°S)

    ça me paraît bizarre pourtant...en tout cas merci beaucoup je vais en discuter avec mes camarades (qui ne sont pas plus avancés que moi je le crains!)

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