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équations cartésiennes et espaces vectoriels



  1. #1
    Chokaolic

    équations cartésiennes et espaces vectoriels


    ------

    Bonsoir,
    à partir d'un sous-espace vectoriel (dans R4 par exemple) de type:
    Vect (e1, e2, e3), il me semble que l'on peut tirer des équations cartésiennes décrivant ce sous-espace vectoriel, non?
    On peut même avoir le nombre de ces équations cartésiennes en faisant: dim R 4 - dim Vect (e1, e2, e3) soit ici 3 équations cartésiennes. Je sais que l'on peut obtenir le nombre d'équations cartésiennes comme cela mais je ne comprends pas pourquoi. Pouvez-vous me l'expliquer? Merci bien.

    -----

  2. #2
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Qui plus est, est-ce que (e1, e2, e3) est forcément une base de Vect (e1,e2,e3)? Sinon, comment puis-je obtenir une base de Vect(e1, e2, e3)?

  3. #3
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Si (e1;e2;e3;e4) est une base de R4, et si un vecteur x se décompose en x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 alors une équation de Vect(e1;e2;e3) est : x4 = 0

    C'est la même chose pour tout sous-espaces. Si tu as une base d'un sous-espace donné, tu peux la compléter pour obtenir une base de l'espace complet (théorème de la base incomplète) et les équations définissant ton sous-espace dans cette base s'obtiendront en disant que la composante sur la partie de la base rajoutée est nulle.

  4. #4
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Qui plus est, est-ce que (e1, e2, e3) est forcément une base de Vect (e1,e2,e3)? Sinon, comment puis-je obtenir une base de Vect(e1, e2, e3)?
    C'est une base si ils forment un système libre.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Merci.
    Mais je ne comprends pas bien la dernière réponse.
    Pourquoi suffit-il qu'ils soient libres? Pourquoi n'a t-on pas besoin qu'ils soient générateurs? Est-ce parce qu'il y a 3 vecteurs et que la dim de Vect (e1,e2,e3) est de 3 donc qu'il suffit d'avoir une partie libre (théorème)? Mais pourquoi dim Vect (e1,e2,e3)= 3? Je n'arrive pas bien à me le représenter.

  7. #6
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Pourquoi suffit-il qu'ils soient libres? Pourquoi n'a t-on pas besoin qu'ils soient générateurs?
    Parce que Vect(e1;e2;e3) est l'espace engendré par (e1;e2;e3). Ces vecteurs sont générateurs par définition.

  8. #7
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Mais là, il n'y a pas un problème dans l'exemple que j'ai donné en fait? Parce qu'on est dans R4 mais j'ai choisi un triplet (e1,e2,e3) et pas un quadruplet. Ce n'est pas possible, si?

  9. #8
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Euh je ne comprends pas ton problème.
    Si (e1;e2;e3) est libre, c'est une base de Vect(e1;e2;e3) pas de R4 bien sûr.

  10. #9
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Oui ça d'accord, j'ai compris quand même! Mais dans mon exemple du début je prends un sous-espace vectoriel de R4 de la forme Vect (e1,e2,e3) mais ce n'est pas possible en fait que Vect(e1,e2,e3) soit un sev de R4 puisque tous les sev de R4 sont des ensembles de quadruplets, non? Mais peut-être qu'un ensemble de quadruplets peut être engendré par un triplet?

  11. #10
    invite43219988

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    tous les sev de R4 sont des ensembles de quadruplets, non? Mais peut-être qu'un ensemble de quadruplets peut être engendré par un triplet?
    Oui et Oui.
    Mais je pense qu'il est plus correct de dire que tous les sev de R^4 forment un ensemble de quadruplets.

    Pour ta deuxième question, tu peux avoir par exemple l'application f telle que :

    f(x,y,z)=(x+y,x^²+z,x,x+z+y)
    On va ici de R^3 dans R^4 (si x, y et z sont des réels).

    On pourrait avoir aussi :
    f(a,b,c,d)=a+b+c+d
    On va ici de R^4 dans R (si a, b, c, d sont des réels).
    Dernière modification par invite43219988 ; 13/11/2005 à 12h48.

  12. #11
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    D'accord. Mais pour les exemples avec les fonctions, je ne vois pas bien le rapport entre le fait que notre ensemble de départ est un ensemble de triplets et notre ensemble d'arrivée un ensemble de quadruplets (même si ce n'est pas très correct de le dire comme ça) et le fait que l'on puisse avoir un sev d'un ensemble de quadruplets engendré par un triplet. Peux-tu me l'expliquer?

  13. #12
    invite43219988

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Désolé, je crois que je me suis gourré.
    Si Vect(E)=B, dimE=dimB il me semble.

  14. #13
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    A condition que E soit une base de B, non? Car si E est simplement une famille génératrice de B et pas une famille libre, ça ne marche pas, si? Mais ce n'est toujours pas ma question.

  15. #14
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Mais je vais essayer d'être plus claire. Est-ce qu'on peut avoir Vect((e1, e2, e3)) un sous-espace vectoriel de R4 ou alors ça ne peut être que Vect((e1,e2,e3,e4))?
    Finalement si on a un sous-espace vectoriel d'un ensemble de quadruplets (R4 ici), est-ce qu'il peut être engendré par un triplet? C'est-à-dire est-ce qu'il peut être égal à qq chose de la forme Vect((e1,e2,e3)) ou seulement à qq chose de la forme Vect((e1,e2,e3,e4))?

  16. #15
    erik

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    tous les sev de R4 sont des ensembles de quadruplets, non?
    Non,
    Tout ce que l'on peut dire c'est que la dimension d'un sev IR^4 est inférieure ou égale à 4.

  17. #16
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Oui ça d'accord, j'ai compris quand même!
    C'est toi qui me posais la question, ne me reproche pas de répondre.

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Mais dans mon exemple du début je prends un sous-espace vectoriel de R4 de la forme Vect (e1,e2,e3) mais ce n'est pas possible en fait que Vect(e1,e2,e3) soit un sev de R4
    Ca effectivement il n'y a aucune chance qu'un système de 3 vecteurs engendre un espace de dimension 4. La dimension de l'espace engendré sera de 3 si le système est libre, moins si le système est lié.

    Ce que je te disais au début, c'est que si tu as un espace de dimension 4 et que tu disposes déjà d'un système de 3 vecteurs libre (engendrant donc un espace de dimension 3) tu peux compléter ce système par un quatrième vecteur pour obtenir une base de l'espace entier. Tu ne peux évidemment pas choisir ce vecteur n'importe comment, mais tu sais qu'il en existe au moins un qui convient.

  18. #17
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Mais je vais essayer d'être plus claire. Est-ce qu'on peut avoir Vect((e1, e2, e3)) un sous-espace vectoriel de R4 ou alors ça ne peut être que Vect((e1,e2,e3,e4))?
    Finalement si on a un sous-espace vectoriel d'un ensemble de quadruplets (R4 ici), est-ce qu'il peut être engendré par un triplet?
    Bon j'ai déjà partiellement répondu dans mon post précedent : non ce n'est pas possible.

    Je vais essayer de préciser. D'abord ne parle pas d'ensemble de quadruplets. Un ensemble de quadruplets n'est pas nécessairement un espace vectoriel, et même si c'est un espace vectoriel, ce n'est pas nécessairement un espace vectoriel de dimension 4.

    Maintenant reviens un peu à la définition d'une base. Une famille de vecteurs est une base si et seulement si c'est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel. S'il existe une base de cardinal fini, alors on sait montrer que toutes les bases de l'espace vectoriel ont le même cardinal, on définit ainsi la dimension de l'espace vectoriel.

    Si tu prends une famille libre de 3 vecteurs (e1;e2;e3). C'est aussi une famille génératrice de Vect(e1;e2;e3) donc par définition Vect(e1;e2;e3) est un espace vectoriel de dimension 3.
    Et ça ne peut pas être une base d'un espace vectoriel de dimension 4 sinon elle devrait être de cardinal 4.

  19. #18
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Je crois que je n'arrive pas du tout à me faire comprendre. Je ne te reproche pas de répondre mais seulement de répondre à une question que je n'ai pas posée. Bon en fait je me suis très mal exprimée et en plus, je n'arrive pas à faire des notations correctes. Mais bon, en fait, Vect(e1,e2,e3) je ne le voyais pas comme une famille génératrice de 3 vecteurs mais comme une famille génératrice d' UN vecteur où ce vecteur est un triplet. Et je ne disais pas que Vect((e1,e2,e3)) engendrait un espace vectoriel de dimension 4 mais un SOUS-ESPACE vectoriel de R4 (ils ne sont pas tous de dimension 4 que je sache?). Ce n'était pas une question sur la dimension en fait mais sur des histoires de quadruplet. Est-ce que ma famille génératrice doit être un ensemble de quadruplets donc ((e1,e2,e3,e4)) ou est-ce que ça peut très bien être un triplet, un couple... Bon je sens que ce n'est encore pas très clair.

  20. #19
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par erik
    Non,
    Tout ce que l'on peut dire c'est que la dimension d'un sev IR^4 est inférieure ou égale à 4.
    D'accord! Mais quel est le rapport avec ma question? Je ne parle pas de dimension. Ce n'est pas parce qu'un espace est un ensemble de n-uplets qu'il est de dimension n de toute façon.
    L'ensemble des nombres complexes exposant n est de dimension 2*n par exemple.(enfin je crois?)

  21. #20
    erik

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Si tu as un espace vectoriel E de dimension 4, celui ci est engendré par au moins 4 vecteurs. On est OK la dessus, maintenant un SEV de E sera de dimension inférieur ou égale à 4.
    Si ton sev est de dimension 4 celui ci est engendré par au moins 4 vecteurs.
    Si ton sev est de dimension 3 celui ci est engendré par au moins 3 vecteurs.
    ....

  22. #21
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Argh c'était ça ?
    Mais il n'y a aucun triplet dans R4 !
    Quand tu dis qu'un vecteur e1 appartient à R4, tu as nécessairement e1=(a;b;c;d) où a, b, c et d sont des réels.
    Donc si tu es dans R4 ou dans un sous espace vectoriel de R4 TOUS tes éléments sont et restent des quadruplets de réels.
    Ce qui pourrait avoir un sens c'est de considérer un vecteur dont une des composantes est nulle, par exemple a = (x1;x2;x3;0) avec x1, x2 et x3 réels et considérer le sous-espace Vect(a), qui sera un sous-espace de dimension 1 puisque engendré par un seul vecteur (et si ce vecteur n'est pas le vecteur nul).

  23. #22
    matthias

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Chokaolic
    L'ensemble des nombres complexes exposant n est de dimension 2*n par exemple.(enfin je crois?)
    Pas nécessairement. Tu peux voir C comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R, ou comme un espace de dimension 1 sur C. Ca dépend du corps de scalaires que tu choisis.

  24. #23
    Chokaolic

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Erik, je ne dis pas que ce que tu dis est faux, mais ça n'a tout simplement aucun rapport avec ma question!
    Matthias a enfin compris ce que je demandais donc c'est bon, plus la peine de revenir là dessus.
    Merci à tous pour vos réponses en tout cas!

  25. #24
    erik

    Re : équations cartésiennes et espaces vectoriels

    Oui j'ai eu du mal à cerner la question

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