générateurs du groupe symétrique

[invite0a45097e]

Bonjour
j'ai un souci de compréhension de transposition je crois. car il a été dit que le symétrique S_n est engendré par deux générateurs : la transposition (1,2) et le cycle (1,...,n) puisque (i+1,i+2) = (1,...,n)ⁱ(1,2)(1,...,n)^-i. Néanmoins si j'applique la formule pour la transposition (3,4) de S₅, on a (1,...,5)^-2 = 1,2,3,4,5 -> 4,5,1,2,3 puis appliqué à (1,2) cela donne 4,5,2,1,3 puis appliqué à (1,...,5)² cela donne 2,1,3,4,5 ce qui est différent de (3,4) = 1,2,3,4,5 -> 1,2,4,3,5.
Ou est mon erreur ?
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[Kairn]

Salut !

Tu fais une erreur à la dernière étape : (3 4 5 1 2) o (4 5 2 1 3) = (1 2 4 3 5) = (3 4).

En fait, tu as calculé (4 5 2 1 3) o (3 4 5 1 2) : la composition est faite dans le mauvais sens. D'ailleurs, tu le dis toi-même : "cela donne 4,5,2,1,3 puis appliqué à (1,...,5)²", alors que c'est (1 ... 5)² que tu appliques à (3 4 5 1 2) quand tu écris "(1,...,n)ⁱ(1,2)". Pense à fog(x)=f(g(x)) : g est appliqué en premier à x, puis f est appliqué au résultat, à savoir g(x).

Fais attention à cela, d'autant plus que tu dis avoir appliqué (4 5 1 2 3) à (1 2) dans la première étape, alors que tu as fais l'inverse .

[invite0a45097e]

salut Kairn,

je me suis mal fait comprendre : il y a une différence entre (4 5 2 1 3) qui est le cycle et 4,5,2,1,3 qui est le résultat que j'ai calculé pour (1,2)o(1,2,3,4,5)^-2. C'est ma notation en fait qui porte un peu à confusion. 4,5,2,1,3 sont en fait les images respectives de 1,2,3,4,5 par la permutation (1,2)o(1,2,3,4,5)^-2.

Donc, si je recommence, en posant t=(1,2) et c=(1,2,3,4,5) on a c^-2(1)=4, c^-2(2)=5, c^-2(3)=1, c^-2(4)=2 et c^-2(5)=3 ce que j'écris 4,5,1,2,3.
Donc 1,2,3,4,5 a été transformé en 4,5,1,2,3 par c^-2.

Puis avec t on a alors que 4,5,1,2,3 (le résultat précédent) est transformé en 4,5,2,1,3 et ensuite en appliquant c², 4,5,2,1,3 est alors transformé en 2,1,3,4,5 ce qui n'est pas égale à la transposition (3,4) que j'écrirais alors 1,2,4,3,5.

Désolé pour la confusion des notations.

[invite57a1e779]

Bonjour
j'ai un souci de compréhension de transposition je crois. car il a été dit que le symétrique S_n est engendré par deux générateurs : la transposition (1,2) et le cycle (1,...,n) puisque (i+1,i+2) = (1,...,n)ⁱ(1,2)(1,...,n)^-i. Néanmoins si j'applique la formule pour la transposition (3,4) de S₅, on a (1,...,5)^-2 = 1,2,3,4,5 -> 4,5,1,2,3 puis appliqué à (1,2) cela donne 4,5,2,1,3 puis appliqué à (1,...,5)² cela donne 2,1,3,4,5 ce qui est différent de (3,4) = 1,2,3,4,5 -> 1,2,4,3,5.
Ou est mon erreur ?

Si on calcule les images de 1, 2, 3, 4 et 5 par la transposition (1,...,5)²(1,2)(1,...,5)^-2, on obtient successivement :
1 -> 4 -> 4 -> 1
2 -> 5 -> 5 -> 2
3 -> 1 -> 2 -> 4
4 -> 2 -> 1 -> 3
5 -> 3 -> 3 -> 5
et le résultat est bien la transposition (3,4)

C'est le principe même d'un calcul par conjugaison : le cycle (1,...,n)^-i décale les éléments 1,...,n de i places en arrière pour amener i+1 et 1+2 en position 1 et 2, puis la transposition (1,2) fait l'échange et le cycle (1,...,n)ⁱ, en décalant les éléments de i places en avant, ramène tout le monde à sa place, à deux exceptions près, i+1 et 1+2 ont été échangés au passage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kairn]

Je crois avoir compris tes notations, mais :
"Puis avec t on a alors que 4,5,1,2,3 (le résultat précédent) est transformé en 4,5,2,1,3 et ensuite en appliquant c², 4,5,2,1,3 est alors transformé en 2,1,3,4,5" :
Tu as encore fais la deuxième composition dans le mauvais sens .



Pour essayer d'être clair, je vais écrire les permutations avec les antécédents en haut, les images en bas, et sans préciser les points fixes. Par exemple, on a le cycle .



Donc, tu cherches à décomposer en utilisant la formule .


Dans notre cas, on a et .

On regarde donc .
Suivons le chemin de 1 dans cette composition. Il est d'abord envoyé sur 4 par la permutation à droite dans l'écriture (). 4 est invariant par la transposition ; et est ensuite transformé par en 1 : 1 est donc envoyé sur 1, tout va bien pour l'instant.

Regardons 2 : il est d'abord envoyé sur 5 ; 5 est invariant par la transposition ; 5 est changé en 2. L'image de 2 est bien 2.

C'est le tour de 3 : il est envoyé sur 1. La transposition envoie 1 sur 2, et 2 est finalement envoyé sur 4. L'image de 3 est bien 4, ouf !

On voit aussi que l'image de 4 est 3, et que celle de 5 est 5.


Edit : doublé par God's Breath, j'ai mis du temps à taper x)

[invite0a45097e]

je vous remercie tous les deux pour vos réponses je sais d'où vient mon erreur grâce à vous : je croyais que pour appliquer le cycle c² il suffisait de faire translater deux fois sur la gauche le résultat de t o c^-2 (qui est 4,5,2,1,3) ce qui donnait une première fois 5,2,1,3,4 puis encore une fois 2,1,3,4,5 ce qui est complètement faux mais il fallait plutôt voir que c² transforme comme suit :
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 4
4 -> 5
5 -> 1
fallait que je repose tout simplement la définition de c.
Merci de m'avoir aiguillé.