Bonjour,
Je lis: "Deux matrices non scalaires desont semblables ssi elles ont le même polynôme caractéristique".
Le sens direct est immédiat, mais le sens réciproque j'ai du mal.
Je vois que le polynôme caractéristique estmais je ne vois pas comment continuer.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
L'assertion est fausse ; la matricea le même polynôme caractéristique que la matrice nulle, mais ne lui est pas équivalente.
Bonjour,
La matrice nulle est scalaireEnvoyé par God's Breath
L'assertion est fausse ; la matrice
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne comprends pas, je considère la relation de similitude, pas d'équivalence!
NB: cette assertion est dans le Mansuy-Mneimné (réduction des endomorphismes), il y a bien peu de chance qu'elle soit fausse.
Bonjour,
Le résultat est vrai.
Si le polynôme caractéristiques commun a deux racines simples réelles, c'est évident (les deux matrices sont diagonalisables de la même façon).
Si le polynôme caractéristique commun a deux racines non réelles, elles sont de même semblables sur C. Reste un joli "petit" exercice complémentaire (connu...), prouver que deux racines réelles C-semblables sont aussi R-semblables.
Enfin si le polynôme caractéristique a une racine double réelle, elles ne sont pas diagonalisables puisqu'on les suppose non scalaires, donc toutes deux trigonalisables de la même façon. Il reste un peu à écrire dans ce troisième cas aussi!!
Désolé pour es détails, je ne disposerai plus d'Internet avant la fin de semaine. Comment peut-on vivre sans? J'espère survivre en tout cas.
Cordialement.
Il faut donc que j'apprenne à lire.La matrice nulle est scalaire
Ne vous inquiétez pas(*), à la première lecture je voulais fournir un contre-exemple avec la matrice unité () et la matrice unité avec un 1 dans la première ligne deuxième colonne (comme vous).
(*) A la réflexion, je ne suis pas sûr que cela vous rassure
Dernière modification par Médiat ; 13/06/2016 à 14h51.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci Gain_Marco (pour les autres, je ne comprends pas la discussion; il me semble que l'action de par similitude est plus compliquée que l'action par équivalence, mais bon).
Dans le dernier cas, je n'arrive pas à montrer que les matrices trigonalisées A'=(a z1; 0 a) et B'=(a z2; 0 a) sont semblables (a réel, z1 et z2 non nuls dans C).
Bonjour,
Pour ce qui est de vos matrices A et B, il suffit de prendre par exemple P=(z2,0;0,z1) soit P-1= (1/z2,0;0,1/z1)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Ah oui, super, merci!
Bonjour,
UNe solution un tout petit plus géométrique et économique.
Soit M une matrice non scalaire, considérée comme un endomorphisme de R^2, disons f.
Comme M n'est pas scalaire, on peut trouver x, tel que f(x) et x ne sont pas colinéaires, ils forment donc un base de R^2 et dans cette base la matrice de f s'ecrit
Le polyome caracteristique de f est alors -X(b-X)-a=X²-bX+a, ce qui est aussi le polynome carracteristique de M, puisque la matrice de f ecrite dans la base canonique de R^2 est M.
Si deux matrices scalaires, M et N, ont meme polynome caracterisque, elles sont donc toute deux semblables puisque toutes les deux semblables à
