similitude

[invite2c80e02a]

Bonjour à tous, pouvez vous m'aider pour la question 2 svp? Merci.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u,v). on prenra pour unité graphique 2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectives zA=i et zB=1+2i.

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(0)=A et S(A)=B
2. Montrer que l’écriture complexe de S est : z’=(1-i)z+i
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera oméga le centre de S).
On considère la suite de points (An) telle que :
. A0 est l’origine du repère ;
. et, pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).
On note zn l’affixe de An. On a donc A0=O, A1=A et A2=B

Pouvez vous me guider pour trouver l'écriture complexe?
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[Jeanpaul]

Dans le plan complexe, une similitude est une rotation combinée avec une homothétie par rapport à un centre précis. Ici, on ne connaît pas le centre, alors on dit que la similitude est la composée d'une similitude de centre O et d'une translation.
Autrement dit, la transformation s'écrit :
z' = a z + b
Ne reste qu'à trouver a et b, ce qui est assez direct avec les données.

[invite2c80e02a]

oui mais comment puis-je trouver a et b?
Pouvez vous m'aider svp? merci.

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Jeanpaul a bien dégrossi le travail. Tu as donc deux constantes à déterminer ; il te faut deux équations. Que sais-tu de particulier sur la similitude S, qui puisse t'aider à poser une système d'équations?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

oui mais comment puis-je trouver a et b?
Pouvez vous m'aider svp? merci.

Tu sais que le point O devient A. Que vaut alors z ? et z' ?
Idem pour la transformation de A vers B.

[invite2c80e02a]

si s transforme 0 en A alors:
z'=A et z=0
donc z'=a i + b
0=ai+b
b=-ai

Si s transforme A en B alors
z'=B et z=A
1+2i=ai + b
b=1+2i-ai
b=1+(2-a)i

Est-ce que c'est juste?

[remace]

tes raisonnements n'ont pas l'air justes.
déjà il faut bien définir le problème:
on donne s(z) = a*z + b, comme Jeanpaul l'a dit avant
on a aussi


donc

et


donc

dans l'énoncé on te donne les affixes de A (z_A), et B,(z_B) l'affixe de O (z_O) c'est 0. jusque là c'est juste répéter l'énoncé de manière plus claire.

il te reste plus qu'à chercher a et b grâce à ce systême :


(c'est les équations écrites au-dessus)




normalement tu trouve b=i et a=1-i , réponse qui est donnée dans l'énoncé.

[Jeanpaul]

si s transforme 0 en A alors:
z'=A et z=0
donc z'=a i + b
0=ai+b
b=-ai

Si s transforme A en B alors
z'=B et z=A
1+2i=ai + b
b=1+2i-ai
b=1+(2-a)i

Est-ce que c'est juste?

0 se transforme en A, donc z=0 devient z'=i
Et puis écrire z'=A c'est choquant, c'est tout mélanger,les points, les affixes...

[invite2c80e02a]

oui mais comment faut-il montrer que l’écriture complexe de S est : z’=(1-i)z+i? Pouvez vous m'aider svp? Merci.

[Jeanpaul]

remace donne la solution sur un plateau, il donne les 2 équations qui permettent de calculer a et b. Ensuite, on écrit z' = a z + b
Mini-calcul en fait.

[invite2c80e02a]

Ok j'ai compris. Pouvez vous m'aider svp pour cette question aussi car je n'ai pas réussi à le résoudre?

3. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, zn=1-(1-i)^n.

[remace]

faut le faire par récurrence.

[Jeanpaul]

On peut le faire par récurrence mais ça ne marche que si on te donne la formule, ou si tu es capable de la deviner.
Il existe une méthode simple pour la trouver, cette formule. L'idée est de partir de la formule de progression :
z' = (1-i) z + i
et de dire que cela ressemble beaucoup à une progression géométrique, à part le i à droite.
On cherche alors s'il ne serait pas possible d'étudier une suite voisine comme Z = z + C où C est une constante.
On trouve sans trop de peine que pour une valeur idoine de C, on a une formule de progression
Z' = (1-i) Z
Qui est une suite géométrique étudiable avec les moyens habituels.

[invite2c80e02a]

je n'ai pas bien compris cette méthode. Pouvez vous me réexpliquer svp? Merci.

[Jeanpaul]

Alors, je détaille.
L'idée est de faire un changement de variable astucieux pour retrouver une suite géométrique. Géométriquement, on peut dire qu'on change d'origine et qu'on repère à partir du centre de similitude.
Plusieurs façons de faire :
1) je cherche le point invariant (pour une similitude, c'est le centre) donc je résous z'=z et je trouve facilement z=(1-i) z + i donc z=1, qui est le centre de similitude, ce qui me pousse à poser Z=z-1 comme ça le centre est en Z=0 puisque z=1
2) autre façon : je cherche le changement de variable astucieux en tâtonnant un peu. Je pose :
Pour le point M : Z = z + C où C est inconnu et de même pour le point M' : Z' = z' + C
Donc il vient z' = (1-i) z + i
Z' - C = (1-i) (Z - C) + i
Z' = (1-i) Z + i + iC en effectuant
Je vois qu'il est habile de choisir C=-1 parce que ainsi :
Z' = (1-i) Z suite géométrique que je sais traiter :
Z(n) = Z(0) (1-i)^n
Z(0) se déduit à partir de z(0) = 0 (on part de O) donc Z(0) = z(0) + C = -1 car C=-1
Donc Z(n) = -(1-i)^n et z(n) = Z(n) - C = -(1-i)^n +1 qui est la réponse cherchée.

[invite2c80e02a]

Comment peut-on montrer ce résultat par récurrence? Pouvez vous m'aider svp?

[Jeanpaul]

Simplement en écrivant que z(n) = 1 - (1-i)^n et que z(n+1) = (1-i) z(n) + i
Quand on effectue, on trouve bien z(n+1) = 1 - (1-i)^(n+1)
Ne reste qu'à vérifier que pour n=0 ça part bien de zéro. Pas trop dur.

[remace]

tu dois avoir un plan type de raisonnement par récurrence dans ton cours, qui est en gros:

-on donne une hypothèse de récurrence, ( ici c'est que z_N = 1 - (1-i)ⁿ )
-on la vérifie sur le premier point de la liste ( ici c'est O d'abscisse 0 et ca marche)
-tu passe d'un point N d'affixe z_N = 1 - (1-i)ⁿ, tu calcule S(N) et tu bidouille pour qu'il ait la forme S(N)=1 - (1-i)ⁿ⁺¹
- tu dis que tu as prouvé que l'hérédité de la relation, et que comme c'est vrai pour O d'affixe z_O ben c'est vrai quel que soit N d'affixe z_N, et que donc t'as prouvé tout ca par récurrence.

j'ai pas fait les calculs mais ca doit être vrai, les exos sont en général pas trop mal foutus

[invite2c80e02a]

Merci. Pouvez vous m'aider aussi pour cette question svp?

b) Déterminer en fonction de n, les affixes des vecteurs ΩAn et AnAn+1
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle (ΩAn ; AnAn+1)

[Jeanpaul]

Déjà on voit qu'il est profitable de prendre l'origine en oméga et pas en O, ce qui revient à étudier la quantité z(n) - 1
Là, il va falloir élever une quantité (1-i) à la puissance n, ce qui n'est pas facile sous cette forme.
Il vaut mieux passer en coordonnées polaires. Alors, quel est le module de (1-i) ? Son argument ? Mêmes questions pour la puissance n. Ca te donne (1-i)^n que tu peux reconvertir en X + i Y (on te le demande).