Supplémentarité en dimension finie

[invite9ea7109a]

Bonjour, je suis bloqué sur un petit détail du cours d'espaces vectoriels de dimension finie, pour montrer que deux sous espaces vectoriels sont supplémentaires il faut démontrer deux conditions : F inter G = {0} et dimE=dimF + dimG (E ev , F et G deux sev de E)

mais je vois qu'il suffit de montrer une seule condition (la deuxième) car on a dimF + dimG = dimE + dimFinterG (théoreme general) . Et puisque on dit que dimE = dimF + dimG alors on est en train d'affirmer que dimFinterG = 0 càd FinterG={0} , non ?

(je pense que le seul ensemble dont la dimension est nulle est le vecteur nul!!)
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[gg0]

Bonjour.

Et que penses-tu de la situation suivante :
E est de dimension 4, F est de dimension 2 et G=F. on a bien dimF + dimG = dimE.

Je te laisse chercher où tu t'es trompé.

Cordialement.

[invite9ea7109a]

je rectifie la formule de grassman : dim(F+G) = dimF + dimG - dim(FinterG)

alors pour verifier E = F+G (en somme directe!) il faut que dimE = dim(F+G) pour que E soit egal a F+G puis dimFinterG = 0 pour que E soit egal a F+G en somme directe . N'est ce pas?

[gg0]

Oui, bof !!

Tu perds ton temps, c'est une définition, la seule chose utile est de voir ce qu'on fait avec.

[A voir en vidéo sur Futura]