Définition de la stricte croissance

[heyheyheyh]

Bonsoir,

Je prends ici le cas de la stricte croissance, mais la question peut s'étendre à toute monotonie, stricte ou pas d'ailleurs.
Soit f une fonction définie sur I. On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, si a<b, alors f(a)<f(b).

Je me demandais si on pouvait "renverser" un peu la définition :On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, si f(a)<f(b), alors a<b. Si la réponse est non, puis-je avoir un contre exemple ?

Si oui, on pourrait alors écrire "f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, a<b <=> f(a)<f(b)
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[God's Breath]

La définition de la stricte croissance c'est : pour tout couple d'éléments distincts de , le taux de variation est strictement positif, autrement dit et ont même signe.

On l'utilise généralement sous la forme : , mais il est parfaitement légitime d'utiliser : .

Je signale au passage que et se déduisent l'une de l'autre par contraposition.

[heyheyheyh]

Merci encore!

Donc, ce que j'ai demandé n'était pas stupide, ça fait du bien

[PrRou_]

il est parfaitement légitime d'utiliser : .

cette implication est équivalente par contraposition à , qui traduit la croissance, mais pas strictement.
En particulier, on voit qu'une fonction f constante vérifie formellement

[A voir en vidéo sur Futura]

[heyheyheyh]

Je croyais qu'une proposition et sa contraposée étaient strictement équivalentes... :/

[PrRou_]

oui, c'est exact.
C'est donc que la stricte croissance de la fonction f n'est pas caractérisée par l'implication (**), mais seulement la croissance de f.

Pour être très clair, cette implication (**) n'est pas équivalente à celle-ci (*) , cette dernière caractérise la strictement croissance de f.

[heyheyheyh]

I)La stricte croissance étant caractérisée par :

a<b => f(a) < f(b)

Sa contraposée est :

f(a)>=f(b) => a>=b

II) La croissance étant caractérisée par :

a<b => f(a) <= f(b)

Sa contraposée est :

f(a) > f(b) => a>=b

[PrRou_]

c'est exact

On peut dire aussi :
II) La croissance étant caractérisée par :

a<=b => f(a) <= f(b)

Sa contraposée est :

f(a) > f(b) => a>b

[heyheyheyh]

Oui, pour mieux coller à ma question de départ, c'est plus judicieux en effet Merci

[heyheyheyh]

Du coup je veux bien un contre-exemple de fonction strictement croissante définie sur I et qui ne vérifie pas pour a et b (avec a<b) dans I f(a)<f(b) => a<b

Qui ne vérifie pas le côté strict de la chose donc

[heyheyheyh]

Par exemple :

pour la fonction ln, si je prends deux réels a et b strictement positifs tels que a<b, on a a<b <=> ln(a) < ln (b)

C'est la stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+inf[ qui permet d'écrire le sens direct.

Qu'est ce qui permet d'écrire le sens indirect si ce n'est pas la stricte croissance de ln ?

[heyheyheyh]

La stricte croissance de l'exponentielle peut-être...

[Kairn]

Du coup je veux bien un contre-exemple de fonction strictement croissante définie sur I et qui ne vérifie pas pour a et b (avec a<b) dans I f(a)<f(b) => a<b

Il me semble que ce qu'à voulu dire PrRou_, c'est que les fonctions croissantes vérifient cela...mais qu'elles ne sont pas les seules : les fonctions constantes aussi. Cela peut donc être un critère pour dire qu'une fonction n'est pas strictement croissante, mais tu ne peux pas t'en servir pour dire qu'une fonction est strictement croissante.
Autrement dit :
strictement croissante
mais il s'agit d'une implication et non d'une équivalence, l'autre sens donnant :
strictement croissante ou constante.

J'espère que c'est bien cela ^^