Fubini et transformée de Fourier

[freemp]

Bonjour,

J'ai une question très simple et dont la réponse est sans doute évidente mais je ne vois pas (je dois m'embrouiller quelque part).

Soit une fonction f intégrable telle que sa T.F le soit aussi (par exemple on prend f dans l'espace de Schwartz).

Si j'écris l'intégrale de sa T.F, j'ai :



Si j'applique Fubini je sais que la fonction : sera intégrable ssi est finie.

Or ce n'est pas le cas vu qu'on va intégrer une constante sur |R en prenant le module (intégrale selon k de int(f(x)) ).

Donc la fonction n'est pas intégrable sur R^2 et donc l'intégrale de la TF existe pas ?

Je vois pas où j'ai faux (mais c'est surement très bête ).

Merci !
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[Tryss2]

Ça n'est pas parce que n'est pas intégrable sur R² que n'existe pas, juste que l'on ne peut pas appliquer Fubini.

[freemp]

Mais il me semblait que si une fonction n'était pas intégrable, alors on considère que son intégrale n'existe pas (dans le cadre des intégrales de Lebesgue).

En gros on ne considère que les intégrales dont la valeur absolue converge.

(Sinon il faut mettre des conditions sur les bords d'intégration comme des limites symétriques pour le sinus cardinal par exemple, mais ce sont des cas un peu particulier).

Ce que je dis n'est vrai qu'en dimension 1 ? (Je ne suis pas très familier avec la notion de mesure & co mais je connais juste le contexte global).

Merci.

[Tryss2]

Tu confonds toujours

et

Le théorème de Fubini dit que si la première intégrale existe alors la seconde existe, et on a égalité (ainsi que l'égalité avec ).

Le théorème de Fubini ne dit absolument rien dans le cas ou la première intégrale n'existe pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Oui ok en effet.

En gros dans mon exemple j'ai juste pas le choix il faut intégrer l'une puis l'autre, et dans mon cas phi n'est pas intégrable sur R^2 mais ça n'empêche pas d'intégrer d'abord par rapport à x et ensuite par rapport à y (le résultat étant différent d'intégrer par rapport à y puis par rapport à x puisque fubini n'est pas vérifié).

Merci.

[zenxbear]

ceci donne x f(0) sous des conditions sur f de continuité... Ceci n'est pas un résultat trivial. regarde ton cours de transformée de Fourier, tu dois passer par la loi normale dilatée, et passer à la limite. 2 lignes et tu démontrer la formule d'inversion. Bref c'est une bonne page de calculs.