Bonjour,

je traverse une série de définitions, dont l'une est le germe et l'autre le germe d'une fonction. Je vous montre (si vous etes familier, lire seulement les deux définitions) :

Avant de définir l'espace tangent, introduisons quelque concepts de base. Considérons deux variétés M et N, et l'ensemble des applications différentiables {ϕ | ϕ:U_{p}→N pour un voisinage U_{p}⊂M de p∈M}. De telles applications ϕ, ψ sont dites équivalentes, ϕ∼ψ, si et seulement si il existe un voisinage V de p tel que ϕ|_{V}=ψ|_{V} (ϕ|_{V} dénote la restriction de ϕ au domaine V). En d'autres mots, ϕ et ψ sont équivalentes si elles coïncident dans un domaine V de p. Appelons (R) une telle relation d'équivalence.

Définition (germe) : Une classe d'équivalence de (R) s'appelle un germe d'une application M→N autour du point p∈M.

En d'autres mots, deux fonctions ϕ et ψ sur V et différentiables en x ont le même germe en x s'il existe un voisinage de x où elles coïncident. Nous désignons un tel germe, qui est représenté par une application ϕ, par ϕ: (M,p)→N ou ϕ: (M,p)→(N,q), où q=ϕ(p). La composition des germes est définie naturellement par les fonction représentantes.
La classe d'équivalence des fonctions différentiables en x qui ont le même germe qu'une fonction ϕ est appelée un germe de ϕ :

Définition (germe de fonction) : Un germe de fonction f est un germe f: (M,p)→(ℝ,0). Nous désignons l'ensemble de tous les germes de fonction au point p∈M par F_{M}(p).


L'ensemble F_{M}(p) a la structure d'une algèbre réelle pourvu que les opérations soient définies en utilisant les représentants. Un germe différentiable ϕ: (M,p)→(N,q) définit, par la composition, un homomorphisme ϕ^{★} des algèbres F_{N}(p) et F_{M}(p):

ϕ^{★}:F_{N}(q)→F_{M}(p):f↦ f∘ϕ

De façon évidente, nous avons que 1^{★}=1 et (ψ∘ϕ)^{★}=ϕ^{★}∘ψ^{★}. En particulier, si ϕ représente un germe inversible, alors ϕ∘ϕ⁻¹=1, et alors

ϕ^{★}∘(ϕ⁻¹)^{★}=1 ou (ϕ⁻¹)^{★}=(ϕ^{★})⁻¹

c'est-à-dire que ϕ^{★} est un isomorphisme.

N. Straumann, General Relativity with..., Springer (2004)
Voilà. J'aimerais bien un exemple assez simple de germe, et de germe de fonction. Après je pourrai garder cet exemple en tête pour m'aider à me rappeler ce qu'est un germe... parce que là j'ai de la difficulté à comprendre ce qui suit dans mon livre si je ne comprends pas au moins ça...

Merci beaucoup!

Simon