Problème série

[invitec8093774]

J'ai un problème avec une question :
"On considère un verger où on plante N nouveaux arbres chaque année mais où une fraction s ∈]0,1] des
arbres meurt de maladie chaque année. Initialement, il y a 20 arbres dans le verger. Combien y aura-t-il
d’arbres dans le verger après n années ? Et à très long terme ?"

Pour appréhender le problème j'ai commencé par visualiser ce qui se passe étape par étape,

Nombre d'arbres par année (A_n)

A1= 20
A2= (20/s)+ N
A3 = (20/s²)+(N/s)+N
A_n = ...

J'ai peut-être déjà commis une erreur à l'étape ci-dessus, mais c'est vraiment maintenant que ça se corse pour moi : je suis incapable de trouver une formule qui exprime cette série...

Voici une tentative un peu désespérée :
(la formulation va peut être vous paraître impropre mais je ne sais pas comment afficher certains symboles sur le site comme le symbole somme par exemple:/)

A_n= (20/sⁿ)+((nN)/(s^n-1))

Voilà, si vous avez des questions n'hésitez pas, en espérant que vous saurez me rediriger =)
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[gg0]

Bonjour.

Il faut peut-être regarder quelques années de plus au début. Avec un calcul sérieux, ton 20/s est faux : si s=0,2 (un arbre sur 5 meurt), ça fait 100. Il est aussi préférable de prendre 0 comme indice initial, puisqu'on dit "après n années".

Cet énoncé pose quelques problèmes d'interprétation :
* A quel moment plante-t-on les N arbres ? au début de chaque année ? à la fin (après la mortalité de ceux qui étaient déjà là) ? tout au long de l'année ? Tu as intérêt à choisir une interprétation précise, par exemple "à la fin".
* le nombre d'arbres est entier, donc si s = 1/9, sur les 20, il va en rester 17,78; bizarre, non ?

Cordialement.

[invitec8093774]

Tout d'abord, merci de ta réponse

Ensuite, je trouve également que l'énoncé laisse un peu à désirer...

* A quel moment plante-t-on les N arbres ?

J'ai déjà donné une interprétation précise en choisissant s^n-1 pour N et sⁿ pour les 20 arbres initiaux. Mais en effet, l'exercice porte à confusion à ce niveau la.

* le nombre d'arbres est entier, donc si s = 1/9, sur les 20, il va en rester 17,78; bizarre, non ?

Comme on nous impose de nommer cet intervalle "s" je pense qu'on ne doit pas se soucier de ça. En tout cas je préfère comprendre la manière de poser une formule récurrente sur cette série plutôt que de me soucier de ce genre de détails

Avec un calcul sérieux, ton 20/s est faux

En effet, bête erreur de ma part, mais facilement corrigeable, posons dès lors :
A_n = 20sⁿ+nNs^n-1
ou encore
A_n = sⁿ(20s+nN)

[gg0]

Houla-la !

Tu es en pleine confusion !! ou tu n'as pas lu l'énoncé : "Comme on nous impose de nommer cet intervalle "s"" !!! mais non, s n'est pas un intervalle, mais un nombre, une proportion!

Essaie déjà de traiter le sujet avec s=0,1, et N= 10, pour écrire les nombres d'arbres année après année sur les première années. En ayant soigneusement relu l'énoncé, puis défini des notations. Je te propose de considérer qu'il y a 20 arbres au départ (début de la première année) et que l'on plante les 10 arbres à la fin de chaque année.

Pour l'instant, tu écris des "calculs" sans rapport avec l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]