Bonjour, j'aimerais savoir pourquoi la détermination principale du logarithme complexe n'est définie que sur?
Pourquoi priver toute une "ligne" du plan complexe? Puisque
pourquoi ne pas faire comme une restriction sur cette fonction exponentielle avec
Afin d'avoir
En tout cas j'aimerais comprendre d'où viens le retrait de la droite :/
Merci d'avance pour vos réponses...
La raison est simple : on veut une fonction holomorphe, donc en particulier continue
Et le logarithme complexe ne peut pas être continu sur
Pourquoi elle ne peut pas être continue sur cette droite?
Trace le cercle unité sur le plan complexe. LPour le logarithme que tu proposes, la limite de
Même si on défininit
Je ne comprend pas pourquoi on ne définit pas le logarithme complexe avec une restriction sur l'argument (qui devient principal)?
En admettant que Log ne soit pas continue sur cette droite, pourquoi les calculatrices/xcas/mathematica retournent
Bonjour,
Il faut bien choisir une détermination unique de l'argument, et donc du logarithme (sauf a trainer systématiquement les +2ikpi). On aurait tout à fait pu choisir la coupure sur une autre demi-droite (ou d'ailleurs, n'importe quelle courbe s'écartant de l'origine). Le choix de 0 -infini a l'avantage d'être le plus "symétrique" : Il permet notamment d'écrire que le ln du conjugué va être le conjugué du ln.
Mais ce n'est pas toujours ce choix qui est fait. Dans certains logiciels, l'argument d'un nombre complexe est donné entre 0 et 2pi (ce qui équivaut à dire que la coupure du logarithme est faite sur l'axe O +infini).
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Est-il possible de définir le logarithme complexe ainsi :
Bonjour,
Il n'y a de problème pour faire un prolongement autour de n'importe quel point (sauf 0).
De même que l'argument, le logarithme est parfaitement analytique, mais ce n'est pas une fonction, ou plus précisément c'est une fonction multivaluée, en ce sens que l'image d'un point quelconque est une infinité de points équivalents séparés par i2kpi. Et si on fait un parcours fermé qui tourne autour de l'origine en revenant au même point, l'image fait un parcours qui ne sera pas fermé, car elle se retrouve sur le point équivalent suivant.
C'est seulement pour pouvoir retrouver une fonction au sens traditionnel (une seule image) qu'on est amené dans les calculs à faire une hypothèse de choix d'une de ces valeurs. Ce choix est arbitraire, mais une fois qu'il est fait, cela introduit une discontinuité de la fonction sur une demi droite partant de zero.
Par exemple, dans votre choix, la discontinuité sera au dessous de l'axe. ln(-1) va valoir ipi, ln(-1+epsiloni) vaudra ipi+epsilon mais ln (-1-epsiloni) vaudra -ipi-epsilon (un saut de -2ipi au passage de l'axe)
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Du coup si on définit le logarithme partout sauf sur
Ou alors, a-t-on le droit de définir un logarithme continue/holomorphe sur
De sorte que Log(- quelque chose + 0i) ne soit pas définie, juste une "sorte de complétion du domaine" où la fonction n'est pas continue pour retourner un nombre (puisque au sens de 2ikpi cette valeur existe)...
Je ne sais pas si je suis clair, mais j'essaye de comprendre pourquoi ln(-|x|) = ln |x| + ipi, donc de trouver une définition "à peu près convenable" :/
