Détermination d'ensemble - Module de logarithme complexe

[The_Anonymous]

Bonsoir à tous!

J'ai un problème qui consiste à décrire l'ensemble .

J'ai pensé que si , alors .

Mais ensuite, je suis bloqué sur ce que je peux dire de plus pour déterminer un ensemble qui ait du sens et pour donner les conditions.

Merci d'avance pour votre aide!

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Une première remarque : le module de est plutôt . Ensuite, ton ensemble ne change pas si tu prends , et cela simplifie l'expression.

[gg0]

Bonjour.

Comme toujours, il y a un problème de signification de "log" appliqué à des complexes. Mais peut-être as-tu une définition précise, Anonymous ?

Cordialement.

[The_Anonymous]

Bonjour,

Une première remarque : le module de est plutôt . Ensuite, ton ensemble ne change pas si tu prends , et cela simplifie l'expression.

Bonjour,

Je comprends votre correction du module.

Je vois aussi pourquoi on peut directement prendre le module au carré.

Donc, après correction, j'arrive à, pour , que

.

Mais ensuite, je ne sais pas s'il faut s'arrêter là et dire que l'ensemble est , ou si on peut continuer mais alors de quelle façon car je ne vois pas comment (par exemple, pourrait-on trouver quelque chose si on dit que l'ensemble est le cercle de centre (0;0) et de rayon 1 ?).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

(par exemple, pourrait-on trouver quelque chose si on dit que l'ensemble est le cercle de centre (0;0) et de rayon 1 ?).

Woops! J'ai dit n'importe quoi

J'avais presque oublié le logarithme...

Mais je me demandais quand même si on pouvait trouver quelque chose par rapport à la représentation de l'égalité dans le plan complexe.

[The_Anonymous]

Bonjour.

Comme toujours, il y a un problème de signification de "log" appliqué à des complexes. Mais peut-être as-tu une définition précise, Anonymous ?

Cordialement.

Encore désolé pour le triple post, je vois votre message à l'instant (qui s'est glissé pendant que j'écrivais ^^)

On a défini le logarithme complexe comme la fonction réciproque de l'exponentielle (complexe), tel que ces deux fonctions soient des bijections (bien évidemment).

On a alors construit la fonction :

.

Et dans le cas où , avec et , alors

.

Suite à votre remarque je me rends compte donc que l'ensemble est également réduit à cause du domaine, mais je ne vois pas en quoi cela aide à part d'imposer l'ensemble plus restreint
. (Quand je dis "je ne vois pas en quoi cela aide", je veux dire que je ne vois pas comment on pourrait simplifier l'ensemble ou le corriger, ...)

Cordialement ^^

[ansset]

Bonjour,

Une première remarque : le module de est plutôt . Ensuite, ton ensemble ne change pas si tu prends , et cela simplifie l'expression.

j'ai aussi du mal avec les log de complexes, mais ce n'est pas plutôt
. ??

[ansset]

et dans la définition, je ne sais pas ( ou plus ) si theta est entre -pi et pi, ou entre 0 et 2pi, ce qui change tout !

[The_Anonymous]

j'ai aussi du mal avec les log de complexes, mais ce n'est pas plutôt
. ??

Non, je ne pense pas car

( propriété )

Et donc .

Cordialement

[gg0]

je ne sais pas s'il faut s'arrêter là et dire que l'ensemble est , ou si on peut continuer

On peut continuer : on voit déjà que et .
D'autre part, une fois calculé r en fonction de theta, on a ce qui s'appelle une équation (ou plutôt 2) en coordonnées polaires.
On peut faire tracer la courbe (voir pièce jointe), c'est proche d'un demi-cercle, mais ce n'en est pas un. En rouge le cas ln(r)<0.

Cordialement.

[ansset]

désolé , méprise, je suis allé trop vite.
cordialement.

[The_Anonymous]

Re-

On peut continuer : on voit déjà que et .

En effet, je comprends pourquoi.

D'autre part, une fois calculé r en fonction de theta, on a ce qui s'appelle une équation (ou plutôt 2) en coordonnées polaires.

J'obtiens

.

Mais je ne suis pas sûr de dire juste et/ou d'être allé assez loin (comment continuer?)

On peut faire tracer la courbe (voir pièce jointe), c'est proche d'un demi-cercle, mais ce n'en est pas un. En rouge le cas ln(r)<0.
Pièce jointe 234224.

J'attends que la pièce jointe soit validée :3

désolé , méprise, je suis allé trop vite.
cordialement.

Ça m'arrive souvent aussi ^^

Cordialement

[gg0]

Je n'avais pas vu (et pour cause, je rédigeais) ton message de 13h 06 qui définit la fonction ,log. Comme il y a une incohérence, je suppose que dans la fonction f, b n'est pas compris entre 0 et 2Pi mais entre -Pi et Pi, sinon ça ne marche pas ensuite.
Mais si c'est bien entre 0 et 2 Pi, alors ma courbe est la bonne. Sinon, il faut rajouter une partie symétrique par rapport à Ox :


Cordialement.

[gg0]

Sinon,

je ne vois pas trop quoi faire, sauf à bien connaître les tracés en polaire pour étudier la courbe (intérêt ?). Mais cette courbe est aussi celle des solutions dans le plan complexe (tu peux reconnaître le point z=e, par exemple).

Cordialement.

[The_Anonymous]

Je n'avais pas vu (et pour cause, je rédigeais) ton message de 13h 06 qui définit la fonction ,log. Comme il y a une incohérence, je suppose que dans la fonction f, b n'est pas compris entre 0 et 2Pi mais entre -Pi et Pi, sinon ça ne marche pas ensuite.
Mais si c'est bien entre 0 et 2 Pi, alors ma courbe est la bonne. Sinon, il faut rajouter une partie symétrique par rapport à Ox :
Pièce jointe 234230

Cordialement.

Sinon,

je ne vois pas trop quoi faire, sauf à bien connaître les tracés en polaire pour étudier la courbe (intérêt ?). Mais cette courbe est aussi celle des solutions dans le plan complexe (tu peux reconnaître le point z=e, par exemple).

Cordialement.

Je me demande bien quelles équations vous avez pu trouvées, car avec Google et W|A, je trouve ceci et cela.

On dirait que le graphique que vous proposez ressemble plus à une demi cercle que ce que je trouve.

En tous cas, j'ai pris sur -pi;pi, donc il y a le symétrique par rapport à Ox.

Pour revenir à ce que demande l'exercice (je veux dire donner un ensemble), puis-je alors dire que l'ensemble recherché est

?

Cordialement

[gg0]

J'ai tracé les deux courbes de ton message #12, c'est tout. la première fois avec théta entre 0 et 1, la deuxième entre -1 et 1.

Cordialement.

[gg0]

Les courbes que tu as fait tracer (je ne sais pas comment) me semblent être des courbes de fonctions, pas des courbes en polaire. il se trouve qu'elles ressemblent un peu aux vraies courbes.
Si tu ne connais pas le tracé en polaire, passe en coordonnées cartésiennes () et fait un tracé implicite, ou définis la fonction y=f(x). mais r et theta ne sont pas l'abscisse et l'ordonnée du point ; ce ne sont pas la partie réelle et la partie imaginaire de z.