Equation differentiel

[Omnitrix]

Bonjour,

J'ai quelques soucis pour résoudre le problème suivant

La ville de Circle City se peuple à une vitesse constante de 100 000 habitants par an. La ville
s'étend en conservant à tout instant une forme circulaire et son rayon croît de telle sorte que
la densité 1 d'habitants reste constante.
On désigne par N(t) la population et par r(t) le rayon de Circle City à tout instant t.

(1) Déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit la population de Circle City et
déterminer sa solution générale,

(2) Par une relation mathématique qui ne soit pas une équation différentielle, exprimer
que la densité de Circle City reste constante,

(3) Déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit le rayon de Circle City et déterminer
à tout instant le rayon r(t) de la ville,

(4) Sachant qu'aujourd'hui Circle City compte 2 millions d'habitants pour un rayon de
8 km, déterminer le rayon de Circle City et la population de la ville dans 100 ans.


Mes réponses

1) soit P le nombre d'habitant :

dP/dt = 100.000

P= 100t+ C

2) le rapport entre le nombre d'habitant et la surface est constant je pense que la seule chose que je peux écrire est 100.000/pi*R² = constant

3) dr/r = k.dt -> r=Ce^kt

4) ici je ne suis pas trop sûr, la condition de départ est P0 = 2000.000

donc P(t) = 2000.000+100.000*100
P(t) = 12000.000

Pour le rayon, le problème est que je me demande si je peux utiliser mon équation différentiel impliquant e bien que je ne connaisse pas la valeur de k parce qu'au départ je m'était k =1 mais j'arrive a une valeur beaucoup trop grande pour mon rayon et le nombre d'habitant ayant juste été multiplié par 6 cela me paraît aberrant. Par contre je me demandais si je peux utiliser la propriétés de la densité de la ville qui elle reste constante et isoler R ??
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[invitedd78828e]

Bonjour,
Dans la question 2 votre raisonnement est juste mais vous avez pris la valeur initiale pour le nombre d'habitant (100 000) et pour le rayon (R). Or la densité de population est le nombre d'habitants à l'instant t sur la surface à l'instant t. Cette densité reste bien constante ce qui vous donne une équation du type f(N(t),R(t) = constante
Dériver cette équation et utiliser le résultat du 1) vous permettra de conclure pour la question 3). La question 4) n'est qu'une application numérique.

(Pour ne pas se compliquer la vie je vous conseille d'utiliser les notations de l'énoncé, N pour le nombre d'habitants au lieu de P.)

[Omnitrix]

Vous pouvez me tutoyer

si j'ai bien suivi


Le nombre d'habitant à l'instant t est mon équation N(t)= No + 100.000*t

r(t) = A*e^kt

et je n'ai qu'a faire le rapport N(t)/(r(t))²*pi ?

[invitedd78828e]

Ah ça marche, c'est une habitude (que je n'ai que sur ce site en plus).
Il faut d'abord calculer N(t) comme tu l'as fait, puis il faut écrire effectivement N(t)/r²(t)*Pi = constante et c'est cela qui va te permettre d'obtenir une équation différentielle et de déterminer r(t). Il suffit de dériver et on trouve :
(N'(t)*Pi*r²(t)-N(t)*Pi*2*r(t)*r'(t))/(Pi*r²(t))² = 0 et le tour est joué ! On connaît N'(t), on a donc une équation différentielle linéaire de premier ordre en r : t-> r(t).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Omnitrix]

Super. MErci je vais calculer ça

[Omnitrix]

Voilà mon équation : N(t)/(r(t))2*pi = cst

Je n'arrive pas a arriver à la même expression que toi pour la dérivée donc je pense ne pas avoir compris la relation donc la j'ai un rapport entre ma population qui varie au cours du temps et mon rayon qui lui aussi varie au cours du temps. Tu m'as dit qu'il fallait calculer N comme je l'ai fait donc si je comprend bien j'ai : 12000.000/Ae^kt

et c'est cette équation que je suis censé dériver par rapport à t ??


Merci

[Omnitrix]

Après observation c'est la formule d/dx (u/v) !! le truc est que j'ai du mal avec les termes..
est ce que N'(t) vaut 0 puisque dans ma formule il vaut 12000.000 ...