Problème de majoration et bornes d'une somme

[invitec8a4eccf]

Bonjour tout le monde, avant toute chose je vais me présenter parce que c'est la première fois que je viens sur ce forum et sur un forum tout court

Alors, voilà l'année prochaine je vais rentrer en prépa PCSI et comme la prépa dans laquelle je vais est super gentille, elle m'a envoyé des exos de maths à faire pour la rentrée Donc tout allait bien jusqu'à que je tombe sur un exo qui à première vu me paraissait bête mais qui me donne du mal et que je n'arrive pas à résoudre totalement...

Hé bon ils nous ont précisé qu'on était pas obligé de tout faire mais comme je suis curieux maintenant que j'ai bien réfléchi dessus et que ça n'aboutit pas je serais preneur pas de la solution complète mais d'idées qui pourraient m'aider

Alors voilà l'exo :

On a la suite Un qui est définie par :

Et on demande de :

-montrer que la suite est croissante (ça j'ai fait et c'est facile)

-De montrer qu'elle est majorée (la seule idée que j'ai eu pour l'instant c'est de majorer chaque terme par 1/2 mais bon à la fin ça montre que Un (1/2)n et c'est pas bon je pense...

-Ensuite on doit en déduire qu'elle converge vers un réel L (logique puisque croissante et convergente) mais on doit aussi montrer qu'elle est bornée telle que 0,5L1 (Bon ici pour le minorant c'est simple mais pour la borne supérieur j'ai beau chercher, je sais pas comment on majore ça...)

PS: J'ai aussi pensé à un moment à ce que Un soit la somme d'une suite arithmétique ou géométrique auquel cas on pourrait appliquer les formules de sommations de terminale S mais Un n'est pas une somme de suite arithmétique ou géométrique...

Si une âme charitable veut bien me venir en aide je suis preneur de toutes les idées.

Merci d'avance

Flo
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[invitecbade190]

Bonjour,

Pour montrer qu'une suite est majorée, il faut trouver un nombre réel indépendant de , c'est à dire, un réel constant : , tel que : . Alors, ce que tu as fait n'est pas correct vu que, tu as trouvé : , or : n'est pas un réel constant, car dépend de : .
Si tu réussis à corriger ça, alors, puisque : est croissante ( i.e : monotone ), et majorée ( i.e : bornée à droite ), alors est convergente.

Cordialement.

[invite23cdddab]

Une façon simple de montrer la majoration, c'est de remarquer que

Ça va te donner sans trop de difficulté la majoration par 1

[invitec8a4eccf]

Merci Tryss2 j'avais pas remarqué le bon truc, mais maintenant c'est nickel

[A voir en vidéo sur Futura]