bonsoir,
j'ai un exo à faire et j'aurai besoin de votre aide. en effet pour la 1er question j'ai exp(-t) qui est continu sur cette intervalle et donc derivable et que t^(x-1) aussi. est ce que je peux resonner comme ca? y'a t-il une autre méthode ?
pour la deuxieme je ne sais pas du tout . votre aide sera la bienvenue.
merci
cordialement
Bonjour,
Cette année (L2 ) il me semble avoir fait un exercice assez similaire, voir le même. Ici pour montrer que ton integrale est bien définie, la continuité ne suffit pas. Il faut que tu montres que |f(t)| est intégrable, par exemple en majorant |f(t)| par une fonction positive et intégrable. Il me semble que tu peux faire 2 cas:
- le premier ou x => 1, pas de souci en 0 et il est facile de trouver une fonction intégrable qui majore f ( qui majore pour x assez grand suffit).
- le cas où 1>x>0, et tu montres que tu peux prolonger en 0, donc intégrable sur [0,n] par exemple, et en l infini tu majores encore!
Pour la 2 tu peux par exemple prendre la racine n-ième qui est bien définie et voir ce qu il se passe !
bonne chance et bonne journée !
PS: n ayant pas mes corrections de TD avec moi, il faudrait une confirmation ou infirmation de mon message précédent.
Cordialement,
Slivoc.
je peux repondre comme ca pour la question1 ?
Sur la photo que tu as postée, on ne voit pas comment tu définies g ?
Par contre tu peux te servir de la majoration de f par t^(x-1) Qui est intégrable sur [0;1] car l exposant est inférieur à 1 il me semble( regle à vérifier !)
Par contre es-tu sure du fait que f(t)<= exp(-t)? Par exemple pour x=3, pour t=>1, f(t)=exp(-t).t^(2) =>exp(-t). A mon avis tu devrais plus tot essaye de montrer l intégrabilite sur [1; +l infini[ avec les croissances comparée !
Petite modification: t^(x-1) est intégrable sur [0;1] car x-1>-1
quand tu dis croissance comparé? c'rst f(t)<=t^(x-1) ?
et pour g je l'ai defini en disant le th des gendarmes.
vaut mieux que derive et etudie la fonction sur intervalle [1, +infinue[?
Quand je dis croissance comparée, c est que le produit exp(-t) par t^X tend vers 0 en + l infini. Mais ça ne suffit pas pour conclure, essaye avec ca de montrer, par exemple que pour x assez grand, f(t)<= exp(-0.5).
Je ne vois pas trop ce que tu veux faire en dérivant et étudier la fonction ? ( peut être une méthode que je n ai pas vu )
donc pour montrer que f est integrable sur intervalle [0,+inf[ .
je dis que exp(t) est plus grand que t^(n) et donc que le produit des deux tend vers 0 quand t tend vers infini.
donc vu que f(t) tend vers 0 alors le sup de f(t) est exp(-1)
tu en penses quoi?
Ça ne répond pas à la question.
Je voulais dire: pour t assez grand.Envoyé par slivoc
Bonjour,
Le fait que la fonction f soit continue sur [0;+ l infini[ et tend vers 0 en + l infini ne suffit pas pour dire qu'elle est intégrable !
Essaye de différencier 2 cas
Pour le cas où x=> 1, montres que 0<=f(t)<= exp(-0.5t) pour t assez grand.
Si 0<x<1 c est plus simple !
Bonne chance !
mais quand tu dis 0<=f(t)<=exp(-0.5t) .
d'accord pour 0<=f(t) mais comment tu fais pour f(t)<=exp(-0.5t)
mais attend si j'ai bien compris tu fais l'integrale par rapport à x et pas t?
Regarde la limite quand t tend vers l +infini de f(t)/exp(-0.5t). Tu en déduiras que pour t assez grand f(t)<=exp(-0.5t).
Non tu intègres par rapport à t, x est fixé dans l intégrale, c est une constante! Tu peux le remplacer par la lettre c si ça t aide.
oui d'acccord mais pourquoi exp(-0.5t) ?
Parce que exp(-0.5t) est intégrable sur [0;+l infini[.
Ducoup tu pourras décomposer l intégrale par la relation de Chasles et avoir que sur l intervalle [0; t assez grand] f est continue donc intégrable et sur [ t assez grand; + l infini[ f est majoré ( et positive) par exp(-0.5t) qui est intégrable, donc f est aussi intégrable sur [t assez grand; + l infini[ .
Ceci marche pour x=>1.
mais tu l'as troyvé comment exp(-0.5t)?
et quand tu dis t assez grand , ca pzut etre 1 ?
On peut trouver exp(-0.5t) en tâtonnant!
Pour la valeur de t je ne sais pas si 1 fonctionne, en fait on a même pas besoin de le trouver explicitement, tu peux juste montrer qu elle existe avec la definition de la limite en + l infini:
f(x) tend vers L lorsque x tend vers + l infini ssi pour tout epsilon strictement positif, il existe A tel que si x> A, alors |f(x)- L|<epsilon
Du coup si tu montres que f(t)/exp(-0.5t) tend vers 0, alors en prenant epsilon=0.3 par exemple, tu sais qu il existe A, tel que si t>A, alors 0<=f(t)/exp(-0.5t) <= 0.3 <1 donc que 0< f(t)< exp(-0.5t)
Bonne chance !
