Groupes de Chow

[invite52487760]

Bonjour,

Soit un schéma. D'après ce que j'ai pu lire dans plusieurs bouquins de géométrie algébrique, le groupe de Chow de est similaire à l'homologie singulière totale d'un espace topologique. On remplace les cycles singuliers par les combinaisons linéaires de sous variétés de , et les bords par les sommes de diviseurs de fonctions rationnelles non nuls sur les sous variétés de .
La construction des groupes de Chow en codimensions supérieurs commence par la définition de pour pour une variété arbitraire directement, ou en passant par sa normalisation.
Soit le groupe abélien libre engendré par les sous variétés de de codimension , et le sous groupe engendré par où est une sous variété arbitraire de de codimension et , et le groupe de Chow de dimension est définie par : .
Alors, ma question est de savoir qu'est ce qui empêche d’être un complexe de chaine pour lequel sont les groupes d'homologies associés ? Quelles sont les autres approches et divergences qui mesurent l'obstruction qu'un groupe de Chow devienne un groupe d'homologie ?

Merci d'avance.
-----

[invite52487760]

Bonsoir à tous,

Ce fil date de quelques mois déjà.

est ce que quelqu'un peut me dire s'il existe un moyen de calculer les dimensions ( taille ) des groupes de Chow : ? Si oui, quant est ce que la dimension de est fini ? est ce qu'il existe un analogue à la caractéristique d'euler Poincaré pour les groupes de Chow ? et quant est ce qu'il existe ?

Merci d'avance.

[0577]

Bonjour,

les groupes de Chow ne sont pas de type fini en général (en particulier les Q-espaces vectoriels associés ne sont pas de dimension finie en général).

L'exemple le plus simple est X une courbe projective lisse de genre 1 sur le corps des complexes. Le groupe de Chow des 0-cycles de degré 0 sur X est en bijection avec X et en particulier est non-dénombrable. En général, la situation est encore pire et les groupes de Chow peuvent être "encore plus gros" (en un sens à préciser, voir un exemple classique dû à Mumford: le cas des 0-cycles sur X une surface projective lisse sur le corps des complexes admettant des 2-formes holomorphes non-nulles).

[minushabens]

du coup est-ce qu'on peut quand-même se servir de ces dimensions (infinies) pour caractériser la variété? (je pose cette question par curiosité insatiable mais j'ignore tout de cette théorie).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Bonjour,

du coup est-ce qu'on peut quand-même se servir de ces dimensions (infinies) pour caractériser la variété? (je pose cette question par curiosité insatiable mais j'ignore tout de cette théorie).

Non, pas en general, et meme en des sens tres faible. Deja au niveau cohomologique, les groupes de Chow ne contiennent pas toute l'information, meme pour les variétés projectives et lisses.
Pour les variété quasi-projective, les groupes de Chow peuvent contenir tres peu d'information e.g ceux de C^* sont nuls.

[minushabens]

mille mercis.

[invite02232301]

Je precise juste un truc quand je dis que les groupes de Chow de C^* sont nuls, je parle du CH^1, le CH^0 vaut Z (C^* est irreductible).

[invite52487760]

Merci pour toutes ces précisions à vous tous, en particulier à 0577.