Bonjour à tous,
je suis face à un problème que voici :
Soient a, b ∈ R tq a < b, et f : [a, b] −→ [a, b] une fonction k-lipschitzienne, o`u k ∈ [0, 1[.
Montrer que f admet un unique point fixe, qu’on notera c.
J'ai montré que la fonction etait uniformement uniforme. Cela peut-il m'aider ?
j'aimerais des pistes (je sais la reponse est surement très simple mais quand on bloque on bloque)
Merci
Bonjour,
As tu prouvé l'unicité?
Pour l'existence tu peux etudier la suite définie par u_0 n'importe quel element de [a,b], et u_{n+1}=f(u_n). Si elle converge, elle converge vers un point fixe (pourquoi?), reste à montrer qu'elle converge.
j'ai montré l'existence en considerant la fontion g(x)= f(x) - x
avec g(a) et g(b) on prouve par le TVI qu'il existe au moins un point fixe mon probleme est l'unicité.
Au sujet de la suite elle fait l'objet de la question suivante.
Merci
Et tu as eu raison! C'est plus simple que ce que j'avais en tete!Envoyé par jackgre
Pour l'unicité qu'est ce qui te bloque, suppose que tu en as deux, disons a et b et evalue |a-b| (en te rappelant que a=f(a) et b=f(b)).
Merci j'ai compris,
on obtient alors |j-w|< k |j-w|
k etant stictement inferieur à 1 ce n'est pas possible,
encore une fois merci
