fonction tend vers fonction lipschitzienne

[invite7f2e52b3]

Bonjour à tous,
j'ai une petite problème avec la limite, j'ai une fonction g qui tend vers une fonction f avec
f est une fonction lipschitzienne et bornée
est ce que g est aussi lipschitzienne et bornée ????????

Merci d'avance
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, qu'entends tu par g tend vers f? que g est équivalente à f vers l'infini?

[invite7f2e52b3]

Bonjour,
j'ai limite de g (y) tend vers f(x) quand y tend vers x avec x et y sont des réels
merci d'avance

[RoBeRTo-BeNDeR]

1er cas: ta fonction est continue, alors g(x)=f(x) (définition de la continuité étant que la limite de g(y) est f(x) quand y tend vers x) ceci pour tout x alors f=g donc g est lipschitzienne.

2nd cas: ta fonction n'est pas continue, alors par contraposition de Lipschitzienne => continue, ta fonction n'est pas lipschitzienne.

Donc si mon raisonnement est juste, ta fonction g est lipschitzienne que si elle est égale à f, donc si elle est continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Bonjour,
j'ai limite de g (y) tend vers f(x) quand y tend vers x avec x et y sont des réels
merci d'avance

Il faut que ce soit vrai pour tout x? Si ce n'est pas le cas, a priori, on ne peut pas dire grand chose de g. Si c'est "pour tout x", alors, sauf erreur, cela implique que f=g.

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Supposons que f et g diffèrent en un point x0 et posons e=|f(x0)-g(x0)|. Puisque g(y) tend vers f(x0) quand y tend vers x0, alors il existe a>0 tel que, dès que |y-a|<a, on a |g(y)-f(x_0)|<e/2. En particulier, on a |g(y_0)-f(x_0)|<e/2, ce qui est absurde. Donc f(x0)=g(x0). Par conséquent, f=g.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Non cela n'implique pas que f=g, seule la continuité de g peut l'impliquer, par exemple prenons f la fonction constante égale à 0, et g qui vaut 0 partout sauf en 0 elle vaut 1, alors g(0)=1, et

[taladris]

Non cela n'implique pas que f=g, seule la continuité de g peut l'impliquer, par exemple prenons f la fonction constante égale à 0, et g qui vaut 0 partout sauf en 0 elle vaut 1, alors g(0)=1, et

Bah tu prends la limite quand y tend vers 0 et , ce qui n'est pas tout à fait la même chose que prendre la limite quand y tend vers 0.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ouais tu as raison, alors c'est totalement direct que f=g