Problème de probabilité

[invitef6f0eafc]

Bonjour à tous

Je me suis penchée pendant un sacré bout de temps sur une question d'exercice et je n'arrive toujours pas à répondre à la probabilité demandée.

Voici l'intitulé :


Deux urnes A et B contiennent chacune n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule de A et une boule de B dont l'on note les numéros respectifs a et b.
Soit E l'événement : "le rapport a/b est un nombre entier"

On me demande de calculer P(E) pour n=3 et n=4 (relativement facile, trouvé de deux manières : probabilité "pure" et calcul direct par "dénombrement"). Je trouve alors : - P(E) = 5/9 pour n=3
- P(E) = 8/16 = 1/2 pour n=4

On me demande ensuite de calculer P(E) dans le cas général et là je bloque... J'ai essayé et je trouve le dénombrement impossible dans la mesure où pour que a/b soit entier on a : a=b, b=1 mais vient quand a=2b pour n=4 et n=5 puis en plus a=3b quand n=6 et 7, et encore a=4b pour n=8 et a=5b pour n=11. Dans tous ça, il y a en plus (sûrement) une histoire avec n pair ou n impair.
En allant calculer et décomposer les possibilités jusqu'à n=11, je n'arrive pas à conjecturer de formule pour la propabilité.

Pour ce qui est d'utiliser des probabilités "pures", j'ai essayé mais je retombe sur le même problème de dénombrement.

Je vous remercie beaucoup de votre aide car là je vais bientôt agiter le drapeau blanc
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[inviteea028771]

Je ferrai un dénombrement.

Déjà il y a n² tirages possibles

Ensuite je tire d'abord la boule dans A qui a pour numéro a, il y a alors d(a)+1 boules dans B tels que le quotient a/b soit entier.

Donc la proba que le rapport a/b soit entier est donc de :



Ceci, après recherche, ne me semble pas simplifiable.
cf http://oeis.org/A006218

[invite986312212]

on peut aussi dénombrer les couples dans l'autre sens. Pour chaque boule de B, disons b le nombre de boules de A qui conviennent est le nombre de multiples de b plus petits que n, c'est la partie entière de n/b. Mais la formule n'est pas plus simple.

au fait, j'aimerais bien que Helene1806 m'explique la différence entre le approches "proba pure" et "dénombrement", je ne vois pas ce que c'est.

[invitedf478b73]

a/b entier implique : (a>b ou a=b) et a=k.b k appartient à lN
a peut prendre des valeurs de 1 à n selon les données

on va examiner chaque cas de a de 1 à n et tous les diviseurs
possibles de a représentant les valeurs de b.

a=1 ---------> {1} D(1)=1 un seul diviseur

a=2 ---------> {1,2} D(2)=2 deux diviseurs

a=3 ---------> {1,3} D(3)=2 deux diviseurs

a=4 ---------> {1,2,4} D(4)=3 trois diviseurs

.............................. .............................. .......................
.............................. .............................. .......................

a=12 ---------> {1,2,3,4,6,12} D(12)=6
.............................. .............................. .......................
.............................. .............................. .......................

a=n ---------> {.........} D(n)

Donc tous les cas possibles pour que a/b soit entier est :

D(1)+D(2)+D(3)+......+D(n)= Σ D(i) (i varie de 1à n)

on sait que le nombre de tous les cas possible est : n*n=n²

donc la probabilité de l’évènement E est : Σ D(i) / n²

On peut écrire cette expression autrement, entre 1 et n il y a p
nombre premier et chaque nombre premier comme vous savez
a deux diviseurs possible, Exemple :

sur {1,2,3,....,10} on a {1,2,3,5,7} sont premiers, donc :

D(1)=D(2)=D(3)=D(5)=D(7)=2

Et sur {1,2,3,....,n} on a p premiers, donc le nombre de diviseur

est 2p.
la nouvelle formule peut s’écrire comme :



( Σ D'(i) +2p ) / n²

Σ D'(i) +2p est compris entre deux nombres :

1 < ( Σ D'(i) +2p ) <n(n+1)/2 ou (=1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef707e9ad]

Désolé pour l'écriture mais je ne contrôle pas latex. je crois que cette probabilité est égale a (1/n^2)* somme de k=1 a n de E(n/k).
Pour les cas n=3 et n=4 sa marche.