Degré d'une application continue.

invitecbade190 · 25/08/2016, 00h29

Bonsoir à tous,

est ce que vous pouvez m'aider sur cet exercice svp ? :

Soit $\text{[math]}$ une fraction rationnelle à coefficients dans $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ l'ensemble fini de ses pôles.
Nous identifions $\text{[math]}$ au domaine d'une carte affine de $\text{[math]}$ , et nous notons $\text{[math]}$ le point complémentaire.
- Montrer que : $\text{[math]}$ s'étend en une application holomorphe, donc $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , encore notée : $\text{[math]}$ .
- Montrer que si $\text{[math]}$ est un polynôme non nul de degré $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ .
- Montrer que si : $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux polynômes non nuls premiers entre eux, alors :
$\text{[math]}$ ,
où : $\text{[math]}$ est le degré de l'extension $\text{[math]}$ du sous corps $\text{[math]}$ engendré par $\text{[math]}$ .

Je précise que cet exercice est tiré du cours de géométrie différentielle de Monsieur Paulin, disponible sur le net gratuitement, mais qui ne propose pas de corrigés pour cet exo. L'exo se trouve à la page : $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

invite5357f325 · 25/08/2016, 08h47

Indice : pour une valeur régulière le degré est égale au nombre de points dans la pré-image.

invitecbade190 · 25/08/2016, 13h43

Bonsoir petrifie :

Merci de m'avoir répondu.
Alors, on commence d'abord par la première question si tu me permets :
Soit $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ l'ensemble fini des pôles de $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ est une application holomorphe sur l'ouvert $\text{[math]}$ .
Par conséquent $\text{[math]}$ induit une fonction méromorphe : $\text{[math]}$ par définition d'une application méromorphe.
Après, il faut passer à : $\text{[math]}$ , mais, j'ignore quel argument utiliser pour pouvoir affirmer ça.
et puisque, les applications méromorphe : $\text{[math]}$ s'identifient aux applications holomorphes : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ induit une application holomorphe : $\text{[math]}$ . ( J'utilise Forster qui me permet de dire ça ).
C'est bien ainsi ?

invite5357f325 · 26/08/2016, 01h16

Des erreurs. Si une fonction est meromorphe de C \ Z -> C elle induit une fonction méromorphe C -> P^1(C) par définition, pas de C -> C (sinon elle serait holomorphe par définition).
C'est faux qu'une fonction méromorphe C -> P^1 induit une fonction méromorphe C -> P^1(C), je pense que tu peux trouver toi même un contre exemple.

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invitecbade190 · 26/08/2016, 11h52

Bonjour petrifie :
Tu dis :

Envoyé par petrifie

C'est faux qu'une fonction méromorphe C -> P^1 induit une fonction méromorphe C -> P^1(C), je pense que tu peux trouver toi même un contre exemple.

N'y'at-il pas une erreur dans cette phrase ? Il y'a une redondance dans ta phrase.
N'aurais- tu pas voulu dire :
C'est faux qu'une fonction méromorphe C -> P^1 induit une fonction méromorphe P^1 (C) -> P^1(C)
?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 26/08/2016, 12h07

En effet, tu as corrigé toi-même. Sais tu donner un contre exemple aussi ?

invitecbade190 · 26/08/2016, 12h57

Je ne vois pas de contre exemple malheureusement.

Toute fonction $\text{[math]}$ est rationnelle, et donc contient un certain nombre de pôles, et donc sa restriction à $\text{[math]}$ ne peut pas être holomorphe, parce qu'il y'a encore des pôles qui empêche qu'elle soit holomorphe, non ?

edit : par exemple : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ est méromorphe, mais elle n'est pas holomorphe sur $\text{[math]}$ , non ?.

invitecbade190 · 26/08/2016, 13h15

D'où : $\text{[math]}$ est holomorphe, c'est ça ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 26/08/2016, 13h43

Décidément j'ai vraiment écrit mon message trop vite, il serait plutôt correct de parler de fonctions holomorphe de C -> P^1 vu comme surfaces de Riemann (comme tu l'as fais). Ne vois tu vraiment pas de fonctions f : C -> P^1 holomorphe tel qu'il n'existe pas d'extension holomorphe f : P^1 -> P^1 ?

invitecbade190 · 26/08/2016, 14h06

$\text{[math]}$ est un mapping ( extension ) holomorphe, si et seulement si : $\text{[math]}$ est une fonction méromorphe, ce qui signifie que $\text{[math]}$ est une fonction rationnelle, par négation, si on prend une fonction non rationnelle, alors elle n'admet pas d'extension holomorphe : $\text{[math]}$ , par exemple : $\text{[math]}$ , non ?.

invitecbade190 · 26/08/2016, 18h16

Re-bonjour,

Pour ce qui concerne la question : $\text{[math]}$ :
Ce n'est encore pas assez claire pour moi la réponse :
Le degré d'une application ne dépend pas de la valeur régulière choisie, et pour $\text{[math]}$ un polynôme de degré algébrique, $\text{[math]}$ , on peut toujours trouver une valeur régulière $\text{[math]}$ dans l'image de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , non ( Parce que, d'après le théorème ou le lemme de Sard, l'ensemble des valeurs critiques ( non régulières ) est de mesure nulle, donc, rare sont celles qui sont non régulières, il n'y'a donc que des valeurs régulières ( l'ensemble des valeurs régulières est dense dans l'image par $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ ), non ?
Alors, puisque d'après ce que tu affirmes ( petrifie ??? ) , le degré de $\text{[math]}$ est égale au nombre de points dans la pré-image, alors degré de $\text{[math]}$ est d, car $\text{[math]}$ ( nombre de points dans la pré-image : $\text{[math]}$ ) est le nombre de racines de l'équation polynomiale $\text{[math]}$ d'après D'Alembert. Correct ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 26/08/2016, 21h44

Bonjour. Ok pour ton exemple (le sinus). Quelles sont les valeurs critiques d'un polynôme non constant ? D'une fraction rationnelle non constante ? Conclusion ?

(Au passage, un polynôme possède bien sûr des valeurs critiques si le degré du polynôme est > 1. )

invitecbade190 · 26/08/2016, 23h35

$\text{[math]}$ est un point critique d'un polynôme : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , si et seulement si : $\text{[math]}$ n'est pas surjective. Mais $\text{[math]}$ est surjective, non ? $\text{[math]}$ , non ? Donc, il n'y'a pas de points critiques il me semble.

invite5357f325 · 26/08/2016, 23h54

Quelle est la définition de df(x) ?

invitecbade190 · 27/08/2016, 00h01

$\text{[math]}$ . C'est la dérivée de $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .

invite5357f325 · 27/08/2016, 00h07

df(x) c'est l'application linéaire TxM -> T_f(x)N. Ici c'est la multiplication par f'(x). Donc : quand df(x) est elle surjective ? Conclusion ?

invitecbade190 · 27/08/2016, 00h15

Ah d'accord, merci.
Donc, $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ fixé.
alors, $\text{[math]}$ est surjective si $\text{[math]}$ , non ?
Donc, $\text{[math]}$ est une valeur critique si $\text{[math]}$ . Ah oui, on revient à la définition du lycée.

Je suis étourdi ce soir.

invitecbade190 · 27/08/2016, 01h26

@petrifie :
est ce que ce que j'ai écrit ici est correct : ?

Envoyé par chentouf

Pour ce qui concerne la question : $\text{[math]}$ :
Le degré d'une application ne dépend pas de la valeur régulière choisie, et pour $\text{[math]}$ un polynôme de degré algébrique, $\text{[math]}$ , on peut toujours trouver une valeur régulière $\text{[math]}$ dans l'image de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , non ( Parce que, d'après le théorème ou le lemme de Sard, l'ensemble des valeurs critiques ( non régulières ) est de mesure nulle, donc, rare sont celles qui sont non régulières, il n'y'a donc que des valeurs régulières ( l'ensemble des valeurs régulières est dense dans l'image par $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ ), non ?
Alors, puisque d'après ce que tu affirmes ( petrifie ??? ) , le degré de $\text{[math]}$ est égale au nombre de points dans la pré-image, alors degré de $\text{[math]}$ est d, car $\text{[math]}$ ( nombre de points dans la pré-image : $\text{[math]}$ ) est le nombre de racines de l'équation polynomiale $\text{[math]}$ d'après D'Alembert. Correct ?

SI oui, on passe à la question $\text{[math]}$ , mais je ne sais pas faire cette question. Any help ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 29/08/2016, 16h03

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider.
Svp, si je ne réussis pas à résoudre la dernière question, je ne pourrais pas avancer plus loin dans mon travail. Si je fais pas cet exo, je ne serai pas capable de comprendre comment se construit le push-forward d'un morphisme par un cycle algébrique et sa classe dans son groupe de Chow. Sans la théorie des degré, je ne peux pas espérer comprendre la suite de mon travail. J'ai cherché un peu sur le net, et j'ai beaucoup apprécié ce qui se trouve dans ces trois liens,
http://math.stackexchange.com/questi...-coincide?rq=1
http://math.stackexchange.com/questi...ry/47500#47500
https://en.wikipedia.org/wiki/Degree...inuous_mapping
mais le problème est le lien qui existe avec la démarche de calcul des degrés d'extensions de corps qui me reste flou, c’est sur ça que se base toute la définition algébrique d'un pushforward pour les cycles algébriques.
Merci d'avance.

invitecbade190 · 30/08/2016, 12h14

Bonjour,

Pour montrer que : $\text{[math]}$ , il suffit de voir que, comme pour la question 2, le nombre de solutions de l'équation : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une valeur régulière quelconque, et il se trouve que : $\text{[math]}$ équivalent à : $\text{[math]}$ a : $\text{[math]}$ solutions. D'où le résultat. Il reste maintenant, à chercher pourquoi : $\text{[math]}$ . Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

invitecbade190 · 30/08/2016, 12h48

On a : $\text{[math]}$ est le polynôme minimal de $\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$ , non ? et $\text{[math]}$ , non ? Je ne sais pas si c'est : $\text{[math]}$ ou bien : $\text{[math]}$ . Pouvez vous éclairer ma lanterne svp ?

Merci d'avance.

Degré d'une application continue.

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