Bonjour à tous!
Est-ce-que quelqu'un aurait une idée relativement simple pour montrer que le coefficient binomial de i dans 2^n est pair pour tout i différent de 0 et 2^n. Je sais que ce résultat est vrai mais je n'arrive pas à le démontrer. Merci d'avance.
Une idée svp?
Bonjour,
Tu cherches à montrer que :pour tout
On peut commencer par chercher le nombre de facteurs 2 dans n! (le nombre de 0 finaux dans l'écriture en base 2).
Cordialement.
Ça revient grâce au binôme de Newton à montrer qu'en caractéristique 2, (x+y)^a = x^a + y^a si a = 2^n. Pour n =1 c'est facile (on est en caractéristique 2).
Ensuite on utilise la récurrence : (x+y)^a = ((x+y)^{a/2})^2 = (x^{a/2} + y^{a/2})^2 = x^a + y^a.
Oui chentouf c'est bien ça que je recherche.
Petrifie, je ne comprends pas bien ton message... je suis en début de sup donc les notions que je dois utiliser sont limitées, et je ne vois pas le rapport entre la parité du coef binomial et le fait que (x+y)^a = x^a + y^a, d'autant plus qu'il me semble que cette égalité est fausse à part pour a=1
Connais tu le binôme de Newton ? Par exemple, (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. Remarque que les coefficients binomiaux apparaissent. Il existe une interprétation combinatoire très simple. Le coefficient devant x^ky^{n-k} est C^n_k.
Maintenant comptons modulo 2. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 (mod 2). D'accord ?
On continue. (x+y)^4 = (x+y)^2(x+y)^2 = (x^2 + y^2)^2. Par le calcul précédent, (x^2 + y^2)^2 = x^4 + y^4. Toujours modulo 2. Toujours d'accord ?
Maintenant tu vois comment continuer je pense. C'est bien sûr faux pour les entiers qui ne sont pas des puissances de deux : il y a un coefficient impair pour n=6.
Bonjour,
La démo se trouve ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Coeffi...ents_binomiaux , paragraphe : Diviseurs et coefficients binomiaux.
edit : croisement avec petrifie.
Merci je comprends mieux ce que tu voulais dire, mais il y a toujours quelque chose que je ne comprends pas. Il me semble que cela montre uniquement que la somme des termes du binôme de newton est pair, et pas que chaque terme indépendamment est pair, ce qui est nécessaire pour montrer que chaque coef binomial est pair.
Merci Chentouf, j'avais déjà vu ca a vrai dire, mais la démo est trop longue et trop complexe.
La formule du binôme dit que le coefficient devant x^ky^{n-k} est le coefficient (k parmi n) et non pas la somme des coefficients. Donc si tu montre que (x+y)^a = x^a + y^a modulo 2, ça veut bien dire que le terme de x^ky^{a-k} est nul mod 2 pour tout 0 < k < a ce qui veut précisément dire que (k parmi a) est pair pour 0 < k < a.
Sinon pour la preuve de la formule de binôme il y a un moyen plus simple : écris (x+y)^n comme (x+y)(x+y)...(x+y). Combien y'a-t-il de terme en x^2y^{n-2} ? En développant, le nombre de tel terme va provenir de deux parenthèses qui vont fournir des x, et le reste des y. Combien y'a-t-il de tel choix de parenthèses ? Exactement (2 parmi n). Le même raisonnement marche pour le coefficient devant x^ky^{n-k}.
En espérant avoir été clair.
Dywondlash :
Oublie le lien wiki que je t'ai mis, il ne répond pas à la question que tu poses. Pardonne moi.
La méthode de petrifie semble etre efficace.
@petrifie, peux tu préciser pourquoi :
Merci d'avance.
Ce n'est pas x^ky^{a-k} qui est nul (mod 2) c'est le coefficient qui est devant dans l'expression (x+y)^a (toujours mod 2).
Ça j'avais compris, mais du coup je ne trouve toujours pas de réponse à ma question
Je parlais à chentoufTu as relu mon avant-dernier message ? le #10 ?
Excuse moi je ne l'avais pas vu je le lis tout de suite !
Pas de soucisC'est vrai que les messages s'enchaînent des fois ...
Ah d'accord, si je saisis bien ce que tu as en arrière plan :
ça veut dire que :
chentouf : pas besoin de base, de corps finis et autre, qui ne servent à rien ici.
Oui, mais, je ne comprends toujours pas pourquoi :
edit : La formule que tu utilises :
Je ne veux pas continuer à te déranger trop longtemps, mais je ne comprends toujours pas.
Je sais bien que le coefficient devant x^k*y^(n-k) est (k parmi n), mais pour moi le fait que (x+y)^a = x^a + y^a implique seulement que la somme des termes (k parmi a)*x^k*y^(a-k) est nulle mod 2 pour tout 1<k<a, et non que chaque terme est nul mod 2. Typiquement, on pourrai avoir 4 termes égaux à 1 mod 2, ce qui fait que la somme serait nulle mod 2
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. edit : je répondais à chentouf, je lis ton message.
Dywondlash : Pourquoi veux tu sommer les coefficients ? Tu as :
Ensuite tu n'as pas besoin de sommer !! C'est comme si je te disais que ax^2y + bz = 3x^2y. Ça veut juste dire que a = 3 et que b = 0, les coefficients ne se somment pas entre eux puisque le monôme n'est pas le même. Tu es d'accord ?
Effectivement vu comme un polynôme c'est évident... merci pour ton aide !
De rien !! Ceci dit, j'imagine qu'une solution plus élémentaire existe. Le même argument marche pour dire que les coefficients
