Bonsoir,
J'ai toujours eu une légère incompréhension face à ce calcul pourtant basique. En effet pour calculer le nombre N de combinaisons ordonnées de p éléments parmi n éléments, il me semble qu'il faut calculer comme ça :
N = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-p+1) = n!/(n-p)!
Pourtant le coefficient binomial "n parmi p" est égal à n!/(p!(n-p)!)
Pourquoi rediviser N par factoriel p ?
Merci d'avance
bonsoir,
Les combinaisons sont par natures non ordonnées, donc on divise par p! qui correspond au nombre de permutations de ces p éléments.
En revanche si on garde l'ordre, on parle d'arrangements et on ne divise plus par p!
A+ MZ
Bonsoir.
Petit exemple : Tirage du loto
Imagine que sur le ticket on te demande de classer tes numéros : alors si tu choisis 17 21 16 32 31 14 ce n'est pas le même tirage que 32 31 21 16 14 17
Nombre de tirages possibles : 49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 = 10 068 347 520
Tes chances de gagner : 1 sur 10 068 347 520...
Mais le monde est bien fait (et en particulier le loto), et dans son infinie miséricorde, la Française des Jeux ne tient pas compte de l'ordre : tu choisis 6 numéros, point barre. 17 21 16 32 31 14, c'est pareil que 32 31 21 16 14 17. Et c'est pareil que tous les autres arrangements de ces 6 numéros : il y en a d'ailleurs 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720
Du moment que le tirage sort les 6 bons numéros, dans n'importe quel ordre, c'est gagné. Ainsi, ton ticket te permet d'avoir...720 chances d'avoir le bon tirage !
720 chances...sur 10 068 347 520
Ce qui fait 1 chance sur """"seulement""""" : 13 983 816
La morale de la petite histoire :
- Les combinaisons, c'est un certain nombre de boules
- Les arrangements, c'est un certain nombre de boules rangées dans un certain ordre
- A une seule combinaison de k éléments, correspondent k! arrangements
- La Française des Jeux ne tient pas compte des arrangements, seulement des combinaisons
- 100% des gagnants ont tenté leur chance
- Et 100% des perdants l'ont tenté aussi
- Et tout ça, ben ça fout les boules.
Cordialement,
Rizmoth.
J'ai un peu honte de poser une question basique comme ça, mais au moins c'est officiel : p parmi n ça dénombre des combinaisons, pas des arrangements. Merci beaucoup!
