Simplification d'expression

[invitea954c0d2]

Bonjour, comment fait-on pour simplifier cette expression ?
(4x^3 - 3x - 1)/(x-1)

De manière générale y'a une manière de procéder ?
Sachant que 1 est la racine du polynome du troisieme degrès ici
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[invite18c42f07]

Salut

D'une manière générale, lorsque tu as un quotient de polynôme P/Q, et que le degré de P et supérieur à celui de Q, tu peux t'intéresser à ce qu'on appelle leur division euclidienne.

C'est tout simplement le même concept que la division euclidienne d'entiers qu'on voyait en primaire mais étendue à des polynômes, donc plutôt que de réécrire ce qui existe déjà je te propose de regarder ce lien :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Divisi..._polyn%C3%B4me

Il y a des exemples plutôt parlants, l'idée est de diviser par les puissances croissantes. En l'occurrence, si tu sais d'emblée que 1 est racine de ton polynôme du troisième degré, c'est que tu peux le mettre sous la forme P(X) = (X-1)*R(X) avec R(X) un polynôme du second degré. Autrement dit, tu devrais obtenir un reste nul à ta division.

Quentin

PS : La division de polynôme est valable pour des polynômes réels mais dans plus large mesure dans n'importe quel anneau de polynôme K[X] où K est un corps commutatif.

[Resartus]

Bonjour,

Ce qui doit être la méthode enseignée actuellement au lycée, c'est de procéder par identification : on développe le polynome cherché (ax²+bx+c) multiplié par (x-1) et on identifie les coefficients de chaque puissance de X au polynome en x^3, ce qui fait des équations en a b c. On va retrouver très facilement d'abord a et c puis b

Mais si vous devez continuer les maths, je vous incite vivement à apprendre à faire des divisions de polynomes (ce qu'on n'enseigne plus depuis bien longtemps au lycée): cela se pose un peu comme les divisions à la main (mais qui ne sont probablement plus enseignées au primaire actuellement?)

Il est d'ailleurs intéressant de savoir faire ces divisions de polynomes dans le sens normal (puissances décroissantes), mais aussi selon les puissances croissantes ce qui pourra servir quand on veut trouver des développements limités de certains fonctions

[invite51d17075]

Bonjour, comment fait-on pour simplifier cette expression ?
(4x^3 - 3x - 1)/(x-1)

De manière générale y'a une manière de procéder ?
Sachant que 1 est la racine du polynome du troisieme degrès ici

comme tu postes en maths du supérieur, il me semble un peu évident de te rappeler
que si un polynôme P(x) de degré n s'annule en x1 alors.
P(x)=(x-x1)Q(x) avec Q(x) polynôme de degré n-1.
donc ici
4x^3-3x-1=(x-1)(ax²+bx+c) et un simple regard permet de voir que a=4 et c=1....
reste b , à toi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea954c0d2]

Merci de vos réponses ducoup j'ai identifié A B et C comme ça :

(x-1)(ax²+bx+c)= 4x^(3) - 3x - 1
a=4
c-b=-3
c=1
donc b = 4

Et j'ai posté ici car j'viens d'entrer en prépa mais j'ai encore quelques lacunes
Merci