Dérivée de fonctions analytiques

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

J'aurai une question assez courte, la voici :

Mettons qu'on travaille avec une fonction analytique en z0 obtenue à partir d'une fonction réelle (c'est à dire qu'on remplace le x par z). Par exemple exp(x) -> exp(z).

En pratique toutes les fonctions analytiques ont la même dérivée que les fonctions réelles dans leur forme (z^2 -> 2*z, exp(z)->exp(z), etc).

Je voudrais savoir si pour avoir ce résultat on est obligé dans chaque cas particulier de calculer le quotient de dérivée ou bien si il est logique que si sur |R la dérivée a une forme donnée, alors sur C la dérivée aura la même forme que sur |R.

En effet dans les cours que j'ai pu avoir sur le sujet on se prenait pas la tête et on claquait directement nos souvenirs de dérivées de fonctions réelles en remplaçant x par z mais je ne sais pas si il est logique que ça ait la même forme dans un cas général ou bien si il faut recalculer les quotients de dérivée en toute rigueur (ce qui n'est pas difficile, mais je veux juste savoir si il y a une logique générale derrière).

Merci !
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[invitecbade190]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part :

Le théorème de prolongement analytique, valable pour toute fonction analytique, en particulier pour les fonctions holomorphes, garantit le fait que si ( analytique ) vérifie une propriété sur un voisinage ouvert connexe ( i.e : localement ), alors vérifie la même propriété globalement, c'est à dire sur tout le domaine ouvert sur quel est défini . ceci dit, si est holomorphe sur tout , et vérifie sur : , alors : sur tout .

Cordialement.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Hmm d'accord il faudra que je revoie la notion de prolongement analytique pour comprendre la réponse, j'ai un peu oublié ce que c'est.

Merci !