Différentielle, question basique

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai une question sur la définition d'une différentielle.

Soit fonction de
On dit que f est différentiable en ssi :


Avec : application linéaire continue de .

Ma question est très naïve mais en fait je ne comprends pas ce qu'apporte le dans la définition puisque c'est un en toute rigueur non ?

Il apporte la notion de continuité qu'on a pas forcément avec des ?

En outre, je comprends la différentiabilité comme une dérivabilité dans toutes les directions de à la fois. Est-ce bien la bonne manière de voir la chose ?

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

La définition de la dérivée comme limite d'un quotient n'est pas utilisable pour généraliser. par contre, celle qui dit que f est dérivable en x si f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) et que A est le nombre dérivé s'étend facilement aux R^n : Lx: h-->Ah est une fonction linéaire.
L'idée générale est celle d'une approximation affine de f au voisinage de M(x,f(x)), bien représentée par la tangente.

Cordialement.

[invite8f6d0dd4]

(Une précision sur la question)

En fait ce que je ne comprends pas c'est qu'on dit que f(x+h)=f(x)+ Un truc qui tend continuement vers 0 mais on sait pas comment + un truc qui tend vers 0 plus vite que ||h||

Donc dans le "Un truc qui tend continuement vers 0 mais on sait pas comment", on a absolument aucune information sur la manière dont il tend vers 0 donc autant remplacer le par un car on aura exactement la même information sur la manière de tendre vers 0.

Enfin on perd la notion de continuité entre les deux notations : et , et du coup je voudrais savoir si c'est bien cet argument là qui fait qu'on écrit le terme de la manière .

[gg0]

Heu .... une application linéaire, ce n'est pas n'importe quoi, c'est quand même rare parmi les fonctions !!! Et bien évidemment, si on ne connaît pas Lx, on ne connaît rien. Exactement comme la définition de la dérivée ne sert pas à grand chose si on ne sait pas la calculer.

je n'ai pas compris ton histoire de continuité, ni pouraquoi tu parles tant de o(1) qui n'a pas grand chose à voir ici. Tu dois mélanger avec autre chose.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Réponse à gg0.

Ah oui en fait vu qu'on a une fonction linéaire, le terme en tend linéairement vers 0 donc le développement de landau est "logique" (fonction décroissant comme h + o(fonction décroissant comme h)). La notion de continuité associée à L_x a en fait pas vraiment a être posée ici vu qu'on est en dim finie et que les applications linéaires en dim finie sont nécessairement continues (j'avais oublié ça).

[edit] : là où je me trompais c'était dans le fait que je disais qu'on sait pas comment Lx tend vers 0 mais elle tend vers 0... linéairement vu que c'est une fonction linéaire ce qui justifie le devt de Landau qui fait du fonction décroissant comme h + o(fonction décroissant comme h).
Merci.