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rang d'1 matrice



  1. #1
    dilzydils

    rang d'1 matrice


    ------

    Bonjour

    N'y a-t-il pas de "feintes" pour le calcul de rang à part l'application systématique du pivot??
    Bon, bien sur, on peut essayer de voir si la famille des vecteurs colonnes ou lmignes est liée ou pas. mais à part ca?
    Par exemple, je dois déterminer le rang d'1 matrice symetrique -> pivot ou autre astuce??

    Merci

    -----

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  4. #2
    supernico999

    Re : rang d'1 matrice

    Il y a en effet des astuces, mais pas vraiment d'"astuce générale".
    Si ta matrice A est symétrique, elle est diagonalisable donc tu peux regarder du côté des racines du polynôme caractéristique qui est défini par det(X*In-A) : le rang de ta matrice est alors égal aux nombre de valeurs propres non nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité)

  5. #3
    indian58

    Re : rang d'1 matrice

    Ou tu peux regarde le noyau de ta matrice et appliquer théoèrme du rang.

  6. #4
    indian58

    Re : rang d'1 matrice

    Ou dans le cas d'une matrice inversible, regardele déterminant.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    salut,
    une fois que tu as le determinant de la matrice, tu fais comment pour avoir le rang? est ce qu'il y a une methode pour trouver le noyau d'une application?
    je suis un peu larguée dans tout ca, et j'ai mon oral dans 5 jours! alors merci d'avance pour les réponses!!

  9. #6
    sg_prune

    besoin d'aide d'urgence!!!

    sinon j'ai un autre souci, voila l'exo:
    soit la matrice
    (a 1 1 )
    (1 a 1 )
    (1 1 a )
    Aa: (1 1 1 )

    et Sa,b : ax + y + Z = b
    x + ay + z = b
    x + y + az = b
    x + y + z = b

    la question est :
    1) calculer en fonction du parametre a le rang de la metrice Aa.

    donc moi j'ai essayé avec le théoreme du rang mais je trouve pas le rang EN FONCTION de a, dc je pense kil y a un bug.... kkun peut m'aider???

    2) ds le cas ou b=0, donnez la dimension de l'espace vectoriel des solutions du systeme Sa,0 en fonction de a.

    la pareil , je nage total!!

    voili merci d'avance!

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  11. #7
    rvz

    Re : rang d'1 matrice

    Salut !

    Cela ne concerne que les matrice carrés :
    Si le déterminant est non nul, alors le rang de la matrice est exactement sa taille, égale à la dimension de l'espace, nombre de lignes, nombre de colonnes...
    Si le déterminant est nul, son rang est strictement plus petit que sa taille, mais tu as alors besoin de regarder la dimension du noyau de ta matrice.

    Pour le cas des matrices rectangulaires n*m :
    On sait que le rang est la taille de la plus grande sous matrice carré extraite inversible (i.e. de déterminant non nul). Ce critère est vrai, mais en général inapplicable...
    Sinon, tu as juste à revenir à la définition : Tu connais la dimension de l'espace de départ, tu calcules la dimension du noyau, et tu soustrais tout ça...

    Bon amusement,
    __
    rvz

  12. #8
    rvz

    Re : besoin d'aide d'urgence!!!

    Citation Envoyé par sg_prune
    (a 1 1 )
    (1 a 1 )
    (1 1 a )
    Aa: (1 1 1 )
    Je suppose que c'est une matrice avec 4 lignes et 3 colonnes, c'est bien ça ?

    Autre indication : Tu sais que tu ne changes pas le rang ou soustrayant une ligne à une autre, ou en multipliant une ligne par un coefficient non nul, et que tout ça marche aussi avec les colonnes.

    Dans ton cas, moi, j'essaierai de soustraire la dernière ligne aux autres. Tu devrais voir quelque chose de sympathique apparaître...

    __
    rvz

  13. #9
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    Merci!
    je dois dire ke g pas tout capté, mais, je fais ce ke je peux, hein, je sui ken bio!!

  14. #10
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    bon alors, j'ai rassemblé toutes mes (minces) capacités intellectuelles, et j'ai trouvé la méthode du pivot (ca c top cool!!). sauf ke je ne vois pas comment faire kan on a une inconnue dans la matrice. et je ne vois pas non plus comment adapter ca à un systeme...

    ben oui, si j'essaye de faire cette méthode, c'est sur que ca dépend de a, mais ca ne me donne pas une équation utilisable!...

    quelqu'un peu m'aider??

    ps: j'ai plus que 2 jours!! ahhh!

  15. #11
    ulyss

    Re : besoin d'aide d'urgence!!!

    Citation Envoyé par sg_prune
    sinon j'ai un autre souci, voila l'exo:
    soit la matrice
    (a 1 1 )
    (1 a 1 )
    (1 1 a )
    Aa: (1 1 1 )
    Salut!
    cherchons d'abord à caractériser le noyau de l'application f associée à la matrice Aa (f est une application d'un espace vect de dim 3 vers un espace vect de dim 4)
    M(x,y,z)est dans Ker(f) ssi :
    ax+y+z=0 (1)
    x+ay+z=0 (2)
    x+y+az=0 (3)
    x+y+z =0 (4)

    soit:
    x+y+z=0 et par remplacement de (4) dans 1, 2 et 3:
    x(a-1)=0
    y(a-1)=0
    z(a-1)=0

    Donc, si a différent de 1 ==> Ker f est réduit au vecteur nul et le rang vaut 3 par application du théorème du rang (rg f + dim Ker f = dim(ens de départ))
    Et si a=1 ==> Ker f est le plan d'équation x+y+z=0 de dimension 2 et le rang vaut : à toi de trouver

    La deuxième question est déjà traitée ci-dessus.

  16. #12
    supernovus

    Re : rang d'1 matrice

    si le déterminant n'est pas nul, le rang est évidemment égal à la dimension; s'il est nul, tu ne peux pas conclure; il faut trouver la plus grande sous-matrice carrée de déterminant non nul pour avoir le rang.

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  18. #13
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    pour la queqtion 2), en fait il demandent les dimensions possibles du noyau selon a? cad 0 et 2, c'est bien ca?

    supernovus, si le déteminant est non nul, ca veut dire que l'application est bijecttive et donc que Ker(f)={0} et donc selon le TH. du rang, le rang est égal a la dimension de l'ev de départ, c'est bien ca? et donc je reviens a la meme question, la dimension de l'ev de départ c'est TOUJOURS le nombre de colonnes? et celle de l'ev d'arrivé c'est TOUJOURS le nombre de lignes?


    encore merci a tous les 2 (et les autres!!) pour cette grande aide!!!

  19. #14
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    dslée, j'avais effacé le début du mess:

    merci à tous les 2!! j'y vois plus clair maintenant!!
    juste une question ulyss, il doit y avoir une défnission ke je ne connais pas, le fait que l'application f associée à la matrice soit d'un espace vectoriel de dim 3 vers une ev de dim 4, c'est par rapport aux lignes et colones de la matrice? je veux dire, une matrice 3'3 sera toujours d'un espec vect de dim 3 vers un espace de dim 3? il n'y a pas une histoire de ligne nulle, ou quelque chose du genre? ah non je confond "domaine d'arrivé " et "domaine image"=rang!! pfff j'ai du mal!!

  20. #15
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    je viens de me rendre compte d'un truc: supernovus, tu parle du déterminant de la matroce, sauf kon ne peut le calculer que pour une matrice carrée, or celle ci est une 3*4, alors on ne peux pas utiliser cette méthode? ou est ce k'on a le droit de virer une ligne? (la derniere toute pleine de 1??)

    c'est ce ke tu proposait rvz et que j'avais pas capter!!
    ca ferais a ce moment la une matrice carrée :

    (a-1 0 0)
    (0 a-1 0)
    (0 0 a-1)

    j'avoue que c'est plutot sympa! mais on a vraiemnt le droit de faire ca??? du coup ca nous fait une matrice diagonale, et donc on a e droit de prendre la definission de la méthode du pivot, et comme on a 3 pivots, r=3, sauf si a=1!! j'avoue c'est drolement simple!! (mais ca ne marche pas a chak coup j'imagine!!!)

  21. #16
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    par contre après, on ne peut pa sla réutiliser pour la 2eme question?

    2) ds le cas ou b=0, donnez la dimension de l'espace vectoriel des solutions du systeme Sa,0 en fonction de a.

    du coup, la on utilise la méthode de ulyss, où en fait on définit le noyau de l'aplication en fonction de a!

    merveilleux!! merci à tous, je crois que ce coup si, j'ai compris!! (surtout dite le moi si j'ai dit qqchose d'aberrant:!!)

  22. #17
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    dites moi...; une matrice ou il n'y a que des 0 (ou que le mm chiffre, peu importe), son rang ne peut pas etre nul, c'est 1? je me trompe?

  23. #18
    Coincoin

    Re : rang d'1 matrice

    Salut,
    Si c'est tout le même chiffre non-nul, c'est 1. Mais si c'est que des zéros, le rang vaut bien 0.
    Encore une victoire de Canard !

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  25. #19
    sg_prune

    Re : rang d'1 matrice

    ok!!!!!
    je ne savais pas qu'un rang pouvait etre nul!! (en mm tps il ya tellement de chose ke je ne sais pas...)
    meri tout plein!! j'en aurais apris des choses pour cet oral!!!

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