équivalence sur les ensembles

[invitef8f57b29]

Bonjour je voudrai savoir si quelqu'un pourrai m'aider a comprendre comment justifier ces equivalences ? ( |X pour le complémentaire de l'ensemble X )

A=B <=> |A = |B

A c B <=> |B c |A
-----

[invite82078308]

On considère habituellement le complémentaire d'un ensemble dans un certain ensemble.
Ceci étant précisé,
Utiliser l'axiome d'extensionnalité pour la première affirmation (deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments), et la définition de l'inclusion pour la deuxième.

Éventuellement, montrer d'abord la deuxième et utiliser le fait que si A et B sont deux ensembles, A=B si et seulement si (A est inclus dans B) et (B est inclus dans A)

[invite82078308]

Allez, je suis d'humeur généreuse, je vais t'offrir un petit indice de démonstration:
Il s'agit de montrer que A c B => |B c |A
On sait que pour tout x, x élément de A=> x est élément de B
Il s'agit de montrer que pour tout y , y élément de |B implique y élément de |A - voir la définition du complémentaire pour ce que signifie appartenir au complémentaire -

[invite238bccc1]

j'ai utiliser le raisonnement par absurde j'ai fait en sorte que le complémentaire de B n'est pas inclut dans complémentaire de A ce qui veut dire que si les éléments de |B implique que x n'appartient pas à |A ce qui veut dire que ça implique que x est élément de A et ça c'est absurde parce que |B ne peut pas être inclut dan A donc |B est inclut dans |A si tout élément de |B alors tout élément est dans |A.
est ce que c'est correct ce que je viens de dire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je dois reconnaître que je ne comprends rien à ta preuve. Déjà " j'ai fait en sorte que.." est assez bizarre ! Tu ne sais rien de A et B, donc tu ne peux pas choisir, ou "faire en sorte que ...". Pour une preuve de A=>B par l'absurde, on suppose que A n'implique pas B, avec un "si". ici : "Si |B n'est pas inclus dans |A, alors ..." et on tire des conséquences de ce qu'on a supposé.
La suite de ta phrase n'a même plus de sens : "ce qui veut dire que si les éléments de |B implique que x n'appartient pas à |A .." Quel est le sujet du verbe "implique" ? Et à quel verbe se rapporte la partie de phrase "si les éléments de |B " ??? En tout cas pas à "implique", même rectifié à "impliquent" puisqu'il y a un pluriel : des éléments n'impliquent rien !!
Donc déjà, il faut que tu apprennes à faire des phrases correctes au point de vue de la grammaire. Décompose ta preuve, pour avoir des phrases courtes (enfin, aussi courtes que possibles).

Mais plus généralement, il y a une preuve bien plus simple, suggérée par Schridies-cat, par contraposition. La contraposée de A=>B est (non B)=>(non A).
En trois lignes, tu auras fini !

Cordialement

[invite238bccc1]

comment on fait ? même par contraposée j'ai pas sut comment :/

[invite238bccc1]

j'ai fait avec la méthode que vous avez mentionner non (B) implique non (A) c'est à dire :
|B n'est pas inclut dans |A ( Non (B) ) qui veut dire qu'il existe des éléments dans l'ensemble universel de sorte que x élément de |B implique que x n'est pas élément de |A ce qui équivaut à x élément de |B implique x élément appartient à A et ce quivaut à son tour que x élément de A implique x élément n'appartient pas à B ce qui veut dire que A n'est pas inclut dans B ( non (A) ).
j'espère que cette fois je ne me suis pas trompé.
est ce que c'est correcte ?

[gg0]

Non,

ce n'est pas bien rédigé : "il existe des éléments dans l'ensemble universel de sorte que x élément de |B implique que x n'est pas élément de |A" ?? qui sont ces éléments ? Qui est x ?
"|B n'est pas inclut dans |A" se traduit tout simplement par il existe un élément x de |B qui n'est pas dans |A". Il suffit de regarder ce qui se passe pour x pour obtenir le résultat.

Fais simple, comme pour expliquer à ton petit frère. Les maths n'ont aucune raison d'être systématiquement compliquées. ici, tout est très simple (on faisait faire ça en collège autrefois !).

Cordialement.

[invite238bccc1]

Bon, moi je l'ai rédiger avec des signes et des flèches j'ai pas sus comment bien traduire avec des mots donc.... moi je veut juste savoir si le principe et correcte

[gg0]

Ben ... on ne peut pas savoir !

Comment veux-tu qu'on sache ce que tu as écrit ailleurs ? T'es drôle, toi !!

[invite238bccc1]

|B ₵ |A (il existe x ϵ |B --->x n’appartient pas à |A ) donc ( x ϵ |B ---> x ϵA -- x n’appartient pas à B ) donc A₵ B

PS: j'ai fait non B ---> non A
c'est ça ?

[gg0]

Il y a un problème d'écriture. Je ne sais pas ce que veulent dire tes ---> qui ne sont apparemment pas des implique (comme dans "il existe x ϵ |B --->x n’appartient pas à |A ". Si ce sont bien des implique, alors il faut revoir la signification de ce connecteur.

Pour l'implication ==> va bien
Et il n'est pas interdit de s'exprimer en bon français dans un raisonnement mathématique (c'est toujours mieux que des symboles sans signification).

[invite238bccc1]

j'ai pas compris votre dernière réponse.
est ce que c'est correcte ou pas ? à part la flèche que j'ai utiliser j'ai pas trouver comment l'ajouter donc j'ai utiliser des tirets et un " > " pour dessiner une flèche

[gg0]

Ben ... si je n'ai pas compris, si je fais des reproches d'écriture, est-ce que c'est correct (sans e à la fin) ??

[invite238bccc1]

avec "e" je confond avec l'anglais parfois désoler mais est ce que la contraposée et correcte ou pas ?
si c'est pas correcte je voudrais voir la solution s'il vous plait ^^ et merci ^^ .

[invite238bccc1]

vous avez dit que vous n'avez pas compris le signe de la flèche et ben ce signe je l'ai utiliser pour l'attribuer à l'implication c'est tout j'avais pas trouver d'autres signes mieux approprié pour l'implication. à part ça est ce que c'est correcte si ce n'est pas le cas, montrez moi la solution pour voir comment doit être rédiger la réponse et merci ^^

[gg0]

Heu ... en anglais on écrit aussi correct sans e.

Une solution ? Puisque tu ne veux pas te forcer à écrire correctement, en voici une :
Si le complémentaire de A est différent du complémentaire de B, alors il existe un x dans |A qui n'est pas dans |B, ou un x dans |B qui n'est pas dans |A. Quitte à échanger les rôles de A et B, on prend le premier cas. X est dans B (il n'est pas dans son complémentaire) et pas dans A, donc A et B sont différents.
Par contraposition ...

Cordialement.

[invite238bccc1]

mais là on parle de la proposition qui est mise dans le sujet la 2eme proposition dans on par du contenu on a A c B <=> |B c |A
par contraposition on cherche: non ( |B c |A ) implique non ( A c B )

[invite9dc7b526]

Si je note X' le complémentaire de X, X<Y pour X inclus dans Y, X+Y pour la réunion de X et Y et XY leur intersection, alors on a A<B ssi A=AB ssi B=A+B et on a aussi (AB)'=A'+B' et (A+B)'=A'B'.

supposons donc A<B, donc B=A+B. Alors A'B'=(A+B)'=B', i.e. B'<A' , CQFD

(mais c'est utiliser des propriétés plus élaborées pour montrer un résultat élémentaire)

[invite238bccc1]

est ce que c'est correct si je note U l'ensemble universel et A, B des sous ensembles de U pour démontrer A c B <=> |B c |A
on utilise non |B c |A ==> non A c B:
il existe x ( élément ) dans U ; x< |B et x n'appartient pas à |A , qui veut dire x< |B et x<A donc si x<A alors x n'appartient pas à B ( puisque il appartient à |B et on conclu que A n'appartient pas à B ( qui veut dire non A c B )
ps: j'ai utiliser le contraposée. "<" qui veut dire l'appartenance ( simple note ). et "|" qui note le complémentaire
est ce que c'est correcte svp ?

[gg0]

Encore une fois, la rédaction est fautive :

"il existe x ( élément ) dans U ; x< |B et x n'appartient pas à |A , qui veut dire x< |B et x<A donc si x<A ..."
Si exprime une condition. Il n'y a ici aucune raison de rajouter la condition "x appartient à A". Et le "alors x n'appartient pas à B" venant après un si, veut dire que tu écris l'implication


Tu me donnes l'impression de ne pas être francophone de naissance. Que ce soit le cas ou non, il faut que tu apprennes le rôle de ces petits mots, : donc, si, si ... alors, alors, or, mais, ...

Autre chose : Dans ce que tu écris, il manque et l'hypothèse (|B non inclus dans |A) et la conclusion (A non inclus dans B). Même si tu as dit au début ce que tu voulais faire, il est toujours plus clair de commencer par l'hypothèse et de terminer par la conclusion. Puis, ici, d'écrire clairement la contraposée.

Dernière chose : Tout ceci ne montre que A c B => |B c |A. Comment montrer la réciproque en une ligne ?

Cordialement.

[invite238bccc1]

Ben justement on cherche à montrer A c B ==> |B c |A

[invite238bccc1]

lorsque j'ai dit si x<A du principe précédent ( celui de x<|B et x< A )

[invite238bccc1]

d'une autre manière j'ai voulu dire puisque x<A alors x n'appartient pas à B puisque déjà x appartient à |B