Loi de composition interne sur [0;1[

invitefd4e7c09 · 24/09/2016, 21h56

Bonjour,

Imaginons que nous puissions voir les décimales d'un nombre réel comme une suite de nombres dont l'ensemble des valeurs de la suite est $\text{[math]}$ et ou chacune de ces décimales possède un rang (le rang $\text{[math]}$ est attribué à la première décimale, le rang $\text{[math]}$ est attribué à la deuxième décimale etc...)
Il s'en suit qu'à chaque réel $\text{[math]}$ , je peux ainsi associer une suite de nombres rangés du rang $\text{[math]}$ , au rang $\text{[math]}$ .
Par exemple, la constante Oméga : $\text{[math]}$ est ainsi associée à la suite de nombres $\text{[math]}$
Imaginons à présent qu'à chacun des termes $\text{[math]}$ de cette suite on fasse correspondre le terme $\text{[math]}$ . Nous créons alors une seconde suite $\text{[math]}$ engendrée par $\text{[math]}$ et telle que chacun des termes $\text{[math]}$ .
Il est alors possible de déterminer chacun des termes $\text{[math]}$ de la suite $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ et on fait correspondre au nombre $\text{[math]}$ le terme $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et on fait correspondre au nombre $\text{[math]}$ le terme $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et on fait correspondre au nombre $\text{[math]}$ le terme $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et on fait correspondre au nombre $\text{[math]}$ le terme $\text{[math]}$
...
La suite engendrée par $\text{[math]}$ est donc $\text{[math]}$
Il est alors possible d'associer à la suite $\text{[math]}$ un réel $\text{[math]}$

Pour corser l'affaire, je fixe deux règles supplémentaires :

1/ Tout terme $\text{[math]}$ de la suite $\text{[math]}$ ne peut servir qu'une seule et unique fois pour engendrer un terme $\text{[math]}$ de la suite $\text{[math]}$ . Lorsque le terme $\text{[math]}$ à été utilisé, le terme $\text{[math]}$
exemple : $\text{[math]}$ est associé à la suite $\text{[math]}$
Il est possible de déterminer chacun des termes $\text{[math]}$ de la suite $\text{[math]}$ ainsi :
$\text{[math]}$ appelle le terme de rang $\text{[math]}$ à savoir $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle le terme de rang $\text{[math]}$ mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang $\text{[math]}$ (concaténation de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ ) à savoir $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ à été engendré par le terme $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle le terme de rang $\text{[math]}$ mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang $\text{[math]}$ mais ce terme à déjà été utilisé également donc l'appel se fait sur le terme de rang $\text{[math]}$ (concaténation de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) à savoir $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ à été engendré par le terme $\text{[math]}$

2/ Tout nombre décimal $\text{[math]}$ servant de base pour créer la suite $\text{[math]}$ ne sera jamais écrit sous la forme d'un développement décimal impropre
exemple : $\text{[math]}$ mais ne s'écrira jamais sous la forme impropre : $\text{[math]}$

Dans la pratique, la détermination des termes de la suite $\text{[math]}$ se fait directement à partir de la lecture des décimales du réel $\text{[math]}$ auquel on associe la suite $\text{[math]}$ .

Exemples :
1) $\text{[math]}$
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
$\text{[math]}$ appelle la 6eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 8eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 73eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 2eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 57eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 7eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 5eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 10eme décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 1ere décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 16eme décimale à savoir $\text{[math]}$
...
La suite $\text{[math]}$ à laquelle j'associe le réel $\text{[math]}$

2) $\text{[math]}$
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
$\text{[math]}$ appelle la 2e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 5e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 15e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 3e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 14e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 6e décimale à savoir $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ appelle la 7e décimale à savoir $\text{[math]}$
...
La suite $\text{[math]}$ à laquelle j'associe le réel $\text{[math]}$

Il est donc possible (avec les règles données ci-dessus) de transformer un nombre réel $\text{[math]}$ en un nombre réel $\text{[math]}$ . Cette transformation (opération) sera notée # et définie sur l'intervalle $\text{[math]}$

Mais s'il est possible d'appeler les décimales d'un réel $\text{[math]}$ dans l'ordre de ses propres décimales, il est également possible d'appeler les décimales d'un réel $\text{[math]}$ dans l'ordre des décimales d'un autre réel $\text{[math]}$ .
Dans tous les exemples précédents le réel $\text{[math]}$ de sorte que l'opérande appelant était la même que l'opérande appelé : $\text{[math]}$ # $\text{[math]}$
Prenons l'exemple de deux opérandes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ inégaux et appelons # l'opération consistant à transformer les décimales de $\text{[math]}$ dans l'ordre de $\text{[math]}$ . Une telle opération sera notée $\text{[math]}$ # $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ l'opérande appelant et $\text{[math]}$ l'opérande appelé.
Par convention, tout opérande positionné à gauche de l'opération # est l'opérande appelant et tout opérande positionné à droite de l'opération # est l'opérande appelé :
$\text{[math]}$ (opérande appelant dont les décimales forment la suite des nombres pairs)
$\text{[math]}$ (opérande appelé)
$\text{[math]}$ # $\text{[math]}$

Si le résultat d'une telle opération donne nécessairement un nombre appartenant à l'intervalle unité $\text{[math]}$ alors l'opération # constitue une loi de composition interne dans la mesure ou elle associe à deux éléments de $\text{[math]}$ un élément de ce même ensemble $\text{[math]}$ .
Le couple (I,#) serait alors par définition un magma dont les propriétés restent à explorer

En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises, n'hésitez pas à me corriger ou à me solliciter sur certains points que j'ai mal rédigé.

invitefd4e7c09 · 06/10/2016, 21h19

Concernant la loi de composition notée "#", une curiosité consiste à prendre un réel $\text{[math]}$ et à calculer de manière itérative :
$\text{[math]}$ # $\text{[math]}$
puis $\text{[math]}$ # $\text{[math]}$
puis $\text{[math]}$ # $\text{[math]}$
puis $\text{[math]}$ # $\text{[math]}$
etc ...
Formellement, on s'intéresse donc à la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$
Une telle suite "converge" vers un élément absorbant $\text{[math]}$ (défini plus haut) ou vers une forme tronquée de la constante de Champernowne (divisée par dix) ou "diverge" vers une structure répétitive du type $\text{[math]}$ en alternance avec $\text{[math]}$ à partir d'un certain $\text{[math]}$ .
Cette curiosité fait écho à tous les résultats connus sur les suites ou séries convergentes ou divergentes.

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