Base orthogonale de coordonnées +-1

[marco_renou]

Bonjour,

Je cherche à trouver, dans R^n, l'ensemble des bases orthogonales de vecteurs de coordonnées +1 ou -1.
A mon avis, le résultat est le suivant:

- Si n n'est pas une puissance de 2, il n'y en a pas
- Si n = 2^p, il y en a une seule à permutation près sur les lignes/colonnes.


Dans le cas n=2^p, une solution (matrice des coordonnées V_p) est donnée par récurrence par:

pour les 2^p premières lignes de V_{p+1}
pour les 2^p dernières lignes de V_{p+1}

les premiers cas sont



Est-ce quelqu'un a une preuve simple?

Merci!
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[marco_renou]

Je crois que j'ai la solution, ce n'était pas très difficile:
Soit e_1, ..., e_n des vecteurs colonnes qui conviennent.

1/Quitte à tout multiplier, pour tout i,j, e_j (i) par e_1 (i), on peut supposer que e_1 est un vecteur composé uniquement de 1.

2/e_1.e_2=0 donc e_2 est donc composé d'autant de +1 que de -1. Par permutation sur les lignes (qui laissent e_1 inchangé), on peut se ramener à e_1=(1,...,1,-1,...,-1)

3/e_1.e_3=0 et e_2.e_3=0: en réfléchissant un peu, on voit que par permutation sur les n/2 premières lignes et les n/2 dernières (qui laissent e_1 et e_2 inchangés), on peut se ramener à e_3=(1,...,1,-1,...,-1,1,...,1,-1,...,-1) (avec n/4 "1", puis n/4 "-1", puis n/4 "1", puis n/4 "-1").

4/On continue... Si n n'est pas une puissance de 2, on finit sur un truc absurde, et sinon il n'y a qu'une matrice possible à permutation + etape 1/ près.

[marco_renou]

Je crois que j'ai la solution, ce n'était pas très difficile:

4/On continue... Si n n'est pas une puissance de 2, on finit sur un truc absurde, et sinon il n'y a qu'une matrice possible à permutation + etape 1/ près.

En fait c'est faux...