Intégrale paramétrique, appli

[blacksages]

Bonjour,

je suis en cours de cycle et dans l'année nous allons voir les transformées de fourier, et forcément on rappelle qlq notions sur les intégrations de fonction paramétrées.
Et où je ne fais la différence c'est quand je dois "intégrer une fonction paramétrique" ou non selon la "méthode"
Pour exemple, nous avons calculé dans l'année:



Nous l'avons calculée grâce à une changement de variable en coord. pol.

Puis récemment, en préparation pour les transformées de Fourier nous avons calculé:


Or dans ce calcul-ci, nous avons appliqué un théorème des intégrales paramétriques avec 3 conditions:

On définit:

1- intégrable sur A

2- continûment dérivable sur et

est intégrable sur A,

3- intégrable sur A, t.q


Alors


Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi utiliser ces trois conditions pour la 2ème mais pas la 1ère? Question de facilité? Ou parce que le paramètre a est fixé? Pourquoi ne pas fixer b aussi pour la seconde expression? D'ailleurs on a a à nouveau dans la deuxième, et on ne se préoccupe que de b. Ou est-ce une qst de définition et l'intégrale de poisson n'est pas une intégrale paramétrique?


Blacksages
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[gg0]

Bonjour.

On utilise une méthode quand elle fonctionne (souvent, il y a plusieurs méthodes qui fonctionnent). Pour ta première intégrale, tu ne l'as pas calculée avec un passage en polaire, vu qu'il n'y a qu'une seule variable, mais tu l'as reliée à une autre intégrale, une intégrale double, qui se calcule bien (enfin, à priori, il y a des conditions à vérifier) par passage en polaire. Donc rien à voir avec le théorème que tu cites, qui peut servir dans certaines situations.
ta question "pourquoi utiliser ces trois conditions pour la 2ème mais pas la 1ère?" n'a donc pas trop de sens, on a trouvé qu'appliquer ce théorème permettait de calculer la deuxième intégrale, et on avait déjà une méthode (différente) pour la première. C'est tout ! En fait, derrière cette question, je devine une interrogation du style "qu'est-ce qu'il faut que je fasse ?" qui est une fausse question : Face à un calcul à faire, on emploie tous les théorèmes de maths qui peuvent servir, rien d'autre. Et des calculs qui semblent se ressembler peuvent n'avoir rien à voir. par exemple, si dans ta première intégrale, tu remplaces x² par x³, le calcul devient impossible, ou extrêmement difficile.

Cordialement.

[blacksages]

D'accord,
si je comprends bien, rien ne m'empêche d'appliquer le théorème pour l'intégrale de poisson? Bien que de toute manière, la dérivée de l'exponentielle ne serait pas vraiment un acteur d'importance dans le calcul de l'intégrale, on reviendrait au même cas et on tournerait en rond.
Au final on a appliqué le théorème pour la 2e simplement parce que ça nous a permis d'avoir une réponse.
Comme qui dirait, tous les chemins mènent à Rome mais certains sont plus longs.