Si f' est injective sur I ouvert, alors f' est continu et strictement monotone sur I

[clairehd]

Bonjour,

je dois montrer que "si f' est injective sur I ouvert, alors f' est continu et strictement monotone sur I"

Une indication de mon professeur est de me dire que je dois m'aider de l'exercice dans lequel j'ai montré que "Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f a la propriété de la valeur intermédiaire et que si f'(x) est différent de 0 sur I, alors f est monotone sur I.

Mon problème est que je ne sais pas que déduire de l'injectivité de f' ( si f(a)=f(b) alors a=b pour a et b dans I).

On a f'(a) = f'(b) => a=b avec a et b sur un intervalle ouvert, OK. Mais comment de là, déduire que f' est dérivable pour appliquer le conseil ?

Auriez vous des pistes s'il vous plaît ?

Je vous remercie par avance
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[minushabens]

f' monotone j'ai des doutes...

[Universus]

Bonjour,

Bonjour,

je dois montrer que "si f' est injective sur I ouvert, alors f' est continu et strictement monotone sur I"

Une indication de mon professeur est de me dire que je dois m'aider de l'exercice dans lequel j'ai montré que "Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f a la propriété de la valeur intermédiaire et que si f'(x) est différent de 0 sur I, alors f est monotone sur I.

Mon problème est que je ne sais pas que déduire de l'injectivité de f' ( si f(a)=f(b) alors a=b pour a et b dans I).

On a f'(a) = f'(b) => a=b avec a et b sur un intervalle ouvert, OK. Mais comment de là, déduire que f' est dérivable pour appliquer le conseil ?

Tout d'abord, quelques commentaires.

1) Vous semblez vouloir montrer que f' est dérivable, mais c'est peine perdue. Imaginez n'importe quelle fonction injective, continue et strictement monotone, mais non dérivable, par exemple . Alors cette fonction est intégrable, c'est-à-dire qu'il existe une fonction f telle que f'=g. Par choix même de g, nous ne pouvons pas espérer que f'' existe partout. La morale de cette remarque est qu'il faut utiliser dans l'argument le fait que f' est la dérivée de f.

2) Je renchérie sur le fait qu'il faille utiliser l'hypothèse que f' est la dérivée de f. En effet, si nous n'étudiions seulement qu'une fonction g ayant la propriété d'être injective sur un ouvert I, alors nous ne pourrions pas prétendre qu'elle est aussi continue. En effet, la fonction g(x) valant x si x est rationnel et valant 2x si x est irrationnel est injective et hautement discontinue.

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Supposez que vous avez montré que f' est continue. Montrez le résultat suivant et appliquez-le à g=f' :

« Soient I un intervalle ouvert et une fonction injective continue. Alors g est strictement monotone. »

(Indice : Le théorème de la valeur intermédiaire)

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Il reste à montrer que f' est continue. J'admets ne pas voir de manière particulièrement simple de le montrer, ni une manière qui n'utilise que les indices de votre professeur (et je n'ai malheureusement pas plus de temps à consacrer à la question). Cela démontre probablement davantage mes propres lacunes qu'une difficulté intrinsèque de la question, alors ne vous découragez pas ! D'autres forumeurs sauront certainement mieux vous aider à ce sujet que moi.

[clairehd]

Minushabens tu penses que f' ne peut etre monotone ?

Savez vous ce qu'on peut deduire du fait que f' soit injective ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[clairehd]

Bonjour,

est ce que quelqu'un aurait une idée qui m'aiderait pour résoudre ce problème, s'il vous plaît ?

[gg0]

Bonjour.

Je pensais que tu avais avancé !
Commençons par la croissance. Soient a et b des éléments de I (qu'on peut supposer non vide, sinon il n'y a rien à démontrer). On peut supposer f(a)<f(b) (sinon, on remplace f par -f). Soit c>b. Il est facile de montrer que f(c)>f(b) puisque f a la propriété des valeurs intermédiaires. Idem si c<a ou si a<c<b. On prouve alors que pour tous x et y de I, x<y ==> f(x)<f(y).

Essaie déjà de rédiger ça, en vérifiant que partout tu appliques des théorèmes.

Pour la continuité, f étant strictement monotone et vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires, la définition doit pouvoir fonctionner : a étant donné dans I, et prenant b<a<c dans I, alors si l'on choisit un epsilon>0, puis un e>0 inférieur à epsilon, suffisamment petit pour que b<a-e<a+e<c, on considère alors alpha =min(f(a)-f(a-e),f(a+e)-f(e)) et on a un alpha tel que a-alpha<x<a+alpha ==> |f(x)-f(a)|<e<= epsilon.

Je tape ça au fil du clavier, à toi de le transformer en un texte bien écrit et entièrement justifié.

Cordialement.

NB : Il n'y a pas d'utilité à la deuxième indication, f' n'étant pas à priori dérivable. Sauf si tu as oublié cette hypothèse dans l'énoncé initial .

[clairehd]

Je pense que l'énoncé suggère que j'utilise pour démontrer la monotonie, le théorème "Si f' est continue et injective alors f' est monotone" et démontrer celui-ci.

Du coup, j'aurai aimé démontrer avant avec le théorème de la valeur intermédiaire que f' est continue.
Est ce que vous pensez que je peux inverser l'ordre de la question ?

[Universus]

Bonjour,

Concernant la réponse de gg0.

À moins qu'il y est une erreur dans l'énoncé du problème, il faut montrer que la dérivée f' est continue et monotone et non pas la primitive f. De prime abord, rien n'indique que f' a la propriété de la valeur intermédiaire. De plus, si f' n'a pas signe constant, alors f n'est pas monotone. Ainsi, le premier paragraphe de la réponse de gg0 ne semble pas répondre à la question posée, mais justifierait plutôt l'indication donnée par le professeur selon laquelle « puisque f est dérivable, elle a la propriété de la valeur intermédiaire, de telle sorte que sur les intervalles où sa dérivée est non nulle, elle est monotone ».

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Comme je l'ai indiqué dans mon premier message, la continuité et l'injectivité d'une fonction assurent sa monotonie stricte.

Il reste donc à prouver que l'injectivité d'une fonction et le fait qu'elle soit la dérivée d'une autre fonction assurent qu'elle est continue. Comme je l'ai dit, il y a probablement plus simple comme argument, mais je ne vois pas. D'ailleurs, je n'utilise pas ci-dessous les indications du professeur. Ce qui suit est une esquisse de preuve, il y a plusieurs détails à polir pour en faire une preuve rigoureuse, mais c'est à vous de faire cela. Au pire, si ma réponse apparaît trop peu ingénieuse aux autres forumeurs, ils présenteront sûrement un argument plus convenable : mon message aura alors au moins servi à cela.

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Soit une primitive de (c'est une fonction dérivable, a fortiori continue).

Étape 1 : Pour une droite quelconque, montrez que l'équation possède au plus deux solutions dans I. En d'autres termes, une droite intersecte le graphe de f en au plus deux points. Plus encore, lorsque et (pour ), de sorte que est la droite tangente à f en , alors n'a que l'unique solution .

Indice : Procédez par l'absurde et utilisez le théorème de Rolle.

Étape 2 : Déduire de l'étape 1 que pour toute droite de la forme , la fonction est soit , soit sur tout I.

Indice : Procédez par l'absurde et montrez qu'il existe une droite intersectant le graphe de f en au moins trois points.

Étape 3 : Supposez par l'absurde que la fonction n'est pas continue en . Ainsi, il existe tel que pour tout , il existe tel que . (Remarquez que si un tel existe, alors le même énoncé tient en remplaçant par n'importe quel réel > 0 plus petit.) Dans ce qui suit, nous fixons un tel .

Considérons la fonction



Par différentiabilité de f, cette fonction est bien définie et partout continue. Ainsi, il existe tel que pour tout , nous ayons . Dans ce qui suit, nous fixons ce .

Pour aboutir à une contradiction, nous pouvons restreindre notre attention aux . Soit et considérons la droite passant par et . Par hypothèse de discontinuité de f' en y, il existe une suite convergeant vers y telle que . Pour n suffisamment grand, est suffisamment près de y pour s'assurer que la droite intersecte la droite en un point . Ceci contredit l'étape 2.

[0577]

Bonjour,

Une indication de mon professeur est de me dire que je dois m'aider de l'exercice dans lequel j'ai montré que "Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f a la propriété de la valeur intermédiaire et que si f'(x) est différent de 0 sur I, alors f est monotone sur I.

Dans l'indication, la conclusion n'est-elle pas que f' (et non f, c'est évident pour f car f est dérivable donc continue) a la propriété de la valeur intermédiaire? (c'est un exercice classique). En utilisant ce résultat, il est facile de montrer que si f' est injective, alors f' est strictement monotone puis continue.

[clairehd]

Oui insatiable, j'aurai du être plus clair mais c'est juste une question de notation. Le théorème indiqué marche pour f'.

Mais je ne vois pas comment montrer la continuité de f' sachant que f' est injective ou vérifie la propriété de la valeur intermédiaire..

[gg0]

Heu ..."je ne vois pas comment montrer la continuité de f'" !!! Après deux proposition détaillées, t'es un peu gonflée !!

[ansset]

edit, doute sur l'énoncé, la deuxième partie de la phrase concerne f' ou seulement f ?

[Universus]

Suite aux messages de 0577 et de ansset, je comprends mieux ce que voulait montrer gg0.

On peut montrer que f' a la propriété de la valeur intermédiaire, ce qui s'avère effectivement assez simple. Ensuite, suivant le premier paragraphe de gg0, on en déduit que f' est strictement monotone si elle est injective. Puis de tout cela, on peut montrer que f' est continue.

Merci bien pour vos lanternes !

[clairehd]

Merci à tous pour votre aide !! J'ai beaucoup appris et veuillez m'excuser si j'ai mis un peu de temps. Je n'ai pas le même nombre d'année de mathématiques derrière moi. Ce qui vous semble évident ne l'est pas toujours pour moi.

En vous remerciant encore tous !!

Claire