Extension non commutative de degré finie d'un corps algébriquement clos

[zaskzask]

Bonjour,

Si j'ai un corps K algébriquement clos et S/K une extension telle que S soit non commutatif et le degré [S:K] est fini. Pourquoi est-ce qu'on a S=K?
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[Resartus]

Bonjour,
A priori, cela me semble faux... Le corps des quaternions H est bien une extension non commutative de C.
Pourriez-vous reécrire exactement ce qu'on vous demande?

[minushabens]

A priori, cela me semble faux... Le corps des quaternions H est bien une extension non commutative de C.

mais pas une extension finie puisque C est algébriquement clos (ou bien quelque-chose m'échappe?)

[Resartus]

Bonjour,

Mais ne faut-il pas alors préciser que l'extension est algébrique? Alors si le polynome est fini, on retrouve bien le corps de départ, comme demandé

Il me semblait (peut-être à tort) que surcorps et "extension" tout court sont synonymes.

Or on peut construire des surcorps non commutatifs de C (de matrices par exemple), et on utilise aussi le terme degré
pour caractériser leur dimension sur C.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Tu dois avoir raison. s'il n'était question que d'extensions algébriques la question posée n'aurait pas de sens.

[Resartus]

Bonjour,
Zaskzask n'est pas revenu pour confirmer son énoncé exact, mais, juste pour clarifier, dans le théorème classique que tu avais sans doute en tête ("toute extension finie est algébrique"), il faut utiliser pour la démonstration qu'un polynome de degré n a au plus n racines

Or, dans H, l'équation X²+1=0 a une infinité de racines (i, et -i, mais aussi j et -j, k et -k , en fait tout vecteur de norme 1 sans composante réelle).

Maintenant, je ne sais pas si dans ce cas on peut continuer à dire que le degré est 2, ou si on doit dire qu'il est infini (auquel cas l'énoncé redevient correct...)

Les anglais ont bien raison de se limiter pour leurs "fields" aux corps commutatifs...

[0577]

Bonjour,

comme mentionné ci-dessus, tout dépend de ce qu'on appelle une extension. En particulier, si cela signifie surcorps alors le résultat est faux. Une autre manière naturelle d'interpréter extension dans une cadre non-commutatif est "algèbre centrale simple". Sur un corps commutatif algébriquement clos k, les seules algèbres centrales simples de dimension finie sont les algèbres de matrices M_n(k), qui ne peuvent être un corps que pour n=1.

Remarque: les quaternions ne forment pas une algèbre sur le corps des complexes (en effet, (ij)(ik)=k(-j)=i est différent de (ii)(jk)=-i).

[Resartus]

Bonjour,
Merci pour ces précisions, 0577.
J'avais complétement oublié cette subtilité, que H, bien qu'extension de R et contenant C n'est ni un espace vectoriel ni une extension sur C*
Finalement, l'énoncé était probablement juste tel quel...


* Je viens de lire une explication à partir des groupes de Brauer, mais qui dépasse assez largement mes compétences....