f strictement monotone alors f bijective

[FreakyFlow]

Salut !

Je souhaite montrer que si f est strictement monotone sur I alors f est bijective sur I.


On raisonne par l'absurde.

En supposant que f ne soit pas bijective sur I. (C'est à dire qu'il existe b dans I, où pour tout y dans f(I), on a y = f(b)).
Soit a et c dans I, tel que a<c.

Si f est strictement monotone sur I, alors a<c, donc f(a)<f(c) ou f(a)>f(b).
Soit b dans [a,c] (qui est dans I) et a<b<c.
On a donc par stricte monotonie : f(a)<f(b)<f(c) ou f(a)>f(b)>f(c).

Comme f n'est pas bijective, on peut poser f(a) = f(b).
Or cela contredis que f(a)<f(b).
Donc f est bijective.

Ainsi si f est strictement monotone sur I alors f est bijective sur I.

1/ Je voudrais savoir si mon raisonnement est juste.
2/ Qu'elle est la négation formelle (avec les quantificateurs) de f n'est pas bijective?

Merci.
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[pallas]

il faut que f soit continue et que f ne change pas de variation: on pourrait supposer f strictement croissante puis ensuite f strictement decroissante elle serait bien strictement monotone mais pas bijective

[FreakyFlow]

J'ai omis de mentionner que f doit être continue sur I.

@Pallas : Pourquoi f ne serait-elle pas bijective ?

Nous avons une fonction continue sur I et strictement monotone sur I. Alors elle est bijective (et réciproquement).

[pallas]

c'est le terme monotone qui me dérange
si c'est strictement croissante ok
si c'est stritement decroissante ok
mais strictement monotone peut ( à mon sens ) dire d'abord strictement croissante et ensuite strictement décroissante !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

(...) mais strictement monotone peut ( à mon sens ) dire d'abord strictement croissante et ensuite strictement décroissante !!

Bonjour,

Non, ... la définition de la monotonie d'une fonction sur un intervalle I, est la suivante :

Une fonction est monotone sur un intervalle I, si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Une fonction est strictement monotone sur un intervalle I, si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_monotone

[PlaneteF]

Bonjour,

Je souhaite montrer que si f est strictement monotone sur I alors f est bijective sur I.

On raisonne par l'absurde.

Non, ce n'est pas la meilleure approche puisque la bijectivité se démontre ici, directement et simplement, en démontrant d'une part l'injectivité (due à la stricte monotonie de la fonction), et d'autre part la surjectivité (due au caractère continue de la fonction qui permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires).

En supposant que f ne soit pas bijective sur I. (C'est à dire qu'il existe b dans I, où pour tout y dans f(I), on a y = f(b)).

Ta phrase entre parenthèses n'est pas claire ... mais de toute manière ce n'est pas comme cela que tu traduis que f n'est pas bijective : f n'est pas bijective si f n'est pas surjective ou (inclusif) si f n'est pas injective.

Comme f n'est pas bijective, on peut poser f(a) = f(b).

Je ne vois pas le rapport entre le fait que f ne soit pas bijective et le fait que l'on puisse poser f(a)=f(b)

1/ Je voudrais savoir si mon raisonnement est juste.

Non, du coup ta démonstration n'est pas bonne

2/ Qu'elle est la négation formelle (avec les quantificateurs) de f n'est pas bijective?

Le problème c'est que la formalisation de la bijectivité se fait en exprimant "qu'il existe un unique élément" etc ... ce qui a pour négation "il n'existe pas d'élément ou il existe au moins 2 éléments" ...

... d'où l'inutilité de passer ici par un raisonnement par l'absurde !

[FreakyFlow]

Je m'excuse de répondre si tardivement.

@PlaneteF : bijection = injection et surjection.

Je ne vois pas le rapport entre le fait que f ne soit pas bijective et le fait que l'on puisse poser f(a)=f(b)

Si f n'est pas bijective, on peut avoir pour a<b (donc a différent de b) l'implication (a<b) entraine f(a)=f(b).
Ce qui signifie "f est surjective". Donc non bijective.)
Puis dans ma démonstration, on suppose "f strictement monotone". (C'est à dire f(a)<f(b) ou f(a)>f(b)).
Mais j'aurais pu la supposer strictement croissante (exemple : f(a)<f(b)).

Ainsi, on tombe sur la contradiction suivante :
Si f n'est pas bijective (puisqu'elle est surjective) on a pour a et b dans I, (a<b) entraine f(a)=f(b).
Or f est strictement croissante sur I. Donc on ne peut avoir f(a)=f(b).

La supposition (f n'est pas bijective) est donc fausse.
D'où f est bijective sur I si f est strictement croissante (strictement monotone) sur I.

Cependant, je suis d'accord avec ta méthode.

Trouves-tu toujours ma preuve fausse ?

Merci

[PlaneteF]

Bonsoir,

Si f n'est pas bijective, on peut avoir pour a<b (donc a différent de b) l'implication (a<b) entraine f(a)=f(b).

Ce que tu exprimes ici (maladroitement car pour plus de rigueur, il vaut mieux utiliser des quantificateurs), c'est que f n'est pas injective, mais tu n'exprimes absolument pas que f n'est pas bijective.

Ce qui signifie "f est surjective".

Faux ... aucun rapport avec la définition de la surjectivité !

Ce qui signifie "f est surjective". Donc non bijective.

Faux ... la surjectivité n’entraîne absolument pas la non-bijectivité !

Si f n'est pas bijective, (...) Donc non bijective.)

C'est le serpent qui se mord la queue !

Si f n'est pas bijective (puisqu'elle est surjective)

Toujours aussi faux ... même remarque que plus haut.

Trouves-tu toujours ma preuve fausse ?

Oui, plus que jamais ...

... Manifestement tu t'emmêles complètement les pinceaux avec les définitions de bijectivité, injectivité, surjectivité et leurs négations !

[FreakyFlow]

Salut !

En relisant les définitions d'injectivité, de surjectivité, bijectivité ; j'ai réalisé que ma visualisation de ces notions n'était pas totalement juste et cela d'autant plus que les définitions sont très formelles !


Je réalise mes erreurs !

Je comprends maintenant qu'il est plus aisé de rédiger une démonstration directe :
On montre que f est injective (puisqu'elle est strictement monotone sur I) et surjective (puisqu'elle est continue sur I, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, pour affirmer qu'il existe un réel c dans I, tel que pour tout y dans f(I), on a f(c) = y). Ainsi si f est injective et surjective sur I, alors elle est bijective sur I. Donc si f est strictement monotone sur I alors elle est bijective sur I.

Mais la négation de la bijectivité... ??
Je dirais : "non injective ou non surjective"
Oui, là ça devient plus lourd à prouver que le raisonnement directe.

En supposant que ma formulation de la négation de la bijectivité soit vrai.
Pour montrer que l’hypothèse "f strictement monotone sur I alors f bijective sur I"
Par l'absurde (je sais que ce n'est pas approprié ici, on peut faire plus simple comme tu me l'a dit), on aurait :
"f non bijective et f strictement monotone sur I"
On montre que la supposition "non injective ou non surjective" est fausse.
Pour cela, on prouve simplement que f est non(non injective) puisqu'elle est strictement monotone sur I.
Donc la supposition "non injective ou non surjective" est bien fausse.

Remarque : je n'ai pas prouvé que f n'est pas non surjective sur I puisqu'il y a un OU.
Cela suffit (à mon sens) pour justifier la contradiction.
Peut-être y a t-il des choses qui m'échappent encore ?

En tout cas merci de m'avoir corrigé. Les erreurs sont importantes dans la compréhension.

[PlaneteF]

Message supprimé

[PlaneteF]

On montre que la supposition "non injective ou non surjective" est fausse.
Pour cela, on prouve simplement que f est non(non injective) puisqu'elle est strictement monotone sur I.
Donc la supposition "non injective ou non surjective" est bien fausse.

Remarque : je n'ai pas prouvé que f n'est pas non surjective sur I puisqu'il y a un OU.
Cela suffit (à mon sens) pour justifier la contradiction.

Ben non ... justement, cela ne suffit pas de démontrer que "f non injective" est FAUX, ... il faut aussi démontrer que "f non surjective" est FAUX --> Il faut que tu revois les tables de vérité de base, notamment la table de "OU". En effet, pour que (A OU B) soit FAUX il faut que A soit FAUX ET B soit FAUX.
--> cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_vérité.

En fait, il n'y a aucun problème pour faire un raisonnement par l'absurde, c'est exactement la même démonstration que la démonstration "directe", ... mais la démonstration par l'absurde n'apporte pas plus de simplicité, ... et cela donne ainsi :

Par l'absurde, supposons f non bijective, ... donc soit f n'est pas injective, soit f n'est pas surjective (soit les 2).

Si f n'est pas injective. Alors , ce qui est en contradiction avec la stricte monotonie de la fonction --> Absurde

Si f n'est pas surjective, puisque f est continue on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui est en contradiction avec la non-surjectivité de la fonction --> Absurde

Donc absurde dans tous les cas, et donc c'est fini

[FreakyFlow]

Merci beaucoup

[Lefebvre-Corentin]

Autre méthode ?