Dérivée log

[invite1e5f0300]

Avec pour hypothèse la définition suivante :

Avec f dérivable sur I et ne s'y annulant pas, Dl(f) est l'application dérivée logarithmique qui à x associe f'(x)/f(x).


Soient f, g deux fonctions dérivables et ne s'annulant pas sur I.

On prouve facilement que Dl(fg)=Dl(f)+Dl(g) et que Dl(f/g)=Dl(f)-Dl(g).


On veut maintenant démontrer :

Avec Imf c R*+ et a un réel,

Dl(f^a)=a*Dl(f)


Comment procéderiez-vous ?
En passant au ln ? Si oui comment l'introduire sans lourdeur?
Autrement ?
Je n'arrive pas à faire le lien avec une formule de dérivation.


Cordialement.
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[invite2f4d9e53]

tu n'as pas besoin de passer au logarithme!
Pose g=f^a. Tu as donc Dl(f^a)=Dl(g)=g'/g.
Calculer la dérivée de g ne devrait pas te poser de problèmes.

[invite1e5f0300]

ah d'accord, je pensais qu'il fallait absolument passer au ln

Merci

[invite1e5f0300]

il y a quand même un truc bizarre !

Je ne me sers pas de l'hypothèse comme quoi f est à valeur dans l'ensemble de réels strictement positifs ! (et en particulier positifs puisqu'OK la fonction ne doit pas s'annuler)


J'ai immédiatement : (f^a)' = a*f'*f^(a-1)

Donc Dl(f^a)=a*f'*f^(a-1) / f^a = a * f'/f = a*Dl(f) : CQFD


Où l'amie f a t-elle besoin de prendre des valeurs positives uniquement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Si a est un réél non entier, pour définir f^a, tu vas avoir besoin de f>0. Donc tu t'en sers dans la définition !

Après, si pour toi, f^a = signe(f)*|f|^a, il faut déjà te demander si c'est dérivable, et après on peut réfléchir. Mais cette formule n'a pas grand sens, puisqu'elle est fauusse pour a=2. Il te faudrait définir (-1)^a pour tout a réél, et ça, je ne sais pas si c'est possible...

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rvz

[invite1e5f0300]

suis-je étourdi!

OK je vous remercie