EDL d'ordre 3 à coeff non-constants et transformation de Laplace

[invitea5398569]

Bonjour,

J'ai un exercice où l'on me demande de résoudre l'EDL suivante sur ]0, +infini[ à l'aide de la transformation de Laplace : t f'''(t) - f''(t) + tf'(t) - f(t) = 0, avec f(0+) = f'(0+) = f''(0+) = 0 et f'''(0+) = 1.

C'est la première fois que je fais ce genre d'exercice, donc ma démarche est fausse à certains endroits.

J'ai appliqué directement la TL à l'ensemble de l'équation différentielle, et en utilisant les différentes propriétés, j'arrive à une équation différentielle sur F(p) la TL de f(t) qui est :

F'(p) + Q(p)*F(p) = 0 avec Q(p) = (4p²+2)/(p(p²+1)).

A partir de là, j'ai conclu que je pouvais résoudre l'EDL sur F(p) comme d'habitude, j'ai donc décomposé Q(p) en facteurs premiers afin d'en dégager une primitive, et j'ai pensé trouver une solution générale sur laquelle je ferais une TL inverse pour trouver l'ensemble des solutions de mon équation en t.

Toutefois, je bloque directement après avoir trouvé une primitive.
De plus, j'ai cherché ailleurs sur Internet et j'ai remarqué qu'on utilisait les TL uniquement pour des équa diffs à coefficients constants, ce qui n'est pas le cas de la mienne.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à détecter l'erreur ?
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[invitea5398569]

Excusez-moi de reposter, mais même un petit indice sur l'erreur serait le bienvenu. =)

[stefjm]

Bonjour,

t f'''(t) - f''(t) + tf'(t) - f(t) = 0, avec f(0+) = f'(0+) = f''(0+) = 0 et f'''(0+) = 1.

C'est une ED d'ordre 3 et vous donnez 4 conditions initiales, ce qui est un peu curieux. (Il est possible que le f⁽³⁾(t) corresponde à un second membre genre dirac?)
J'avoue que sans précision supplémentaire, je ne sait pas trop quoi faire de ce f⁽³⁾(t) . Vous êtes sûr que ce n'est pas un f⁽²⁾(t)=1 ?

De plus, j'ai cherché ailleurs sur Internet et j'ai remarqué qu'on utilisait les TL uniquement pour des équa diffs à coefficients constants, ce qui n'est pas le cas de la mienne.

Ici, cela doit marcher car t.f(t) se transforme en -dF(p)/dp.
Je regarde et je vous dis quoi.
Cordialement.

[stefjm]

F'(p) + Q(p)*F(p) = 0 avec Q(p) = (4p²+2)/(p(p²+1)).

Je suis d'accord avec ce résultat en considérant nulle les 3 premières CI avec second membre nul, sans utiliser le f⁽³⁾(0+).
Le 1/p va donner du t et ke 1/(1+p^2) va donner du sin(t) et cos(t).

Il semble que Alpha soit ok : https://www.wolframalpha.com/input/?...Fdt+-+f(t),t,p)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5398569]

Effectivement, il semble inutile de tenir compte du f'''(0+). L'énoncé m'a donné ça, mais j'en ai parlé à mon enseignante qui m'a dit que c'était sûrement une erreur.

Pouvez-vous m'expliquer pourquoi on passe directement par la transformée de Laplace inverse sur l'équation différentielle en F(p) et comment obtient-on ces solutions générales (juste des indications si vous préférez ne pas me détailler la démarche) ? Je précise d'avance que je n'ai pas de cours du tout sur la méthodologie de résolution d'EDL avec Laplace, d'où ma perplexité. ^^'

Enfin, pourquoi s'agit-il d'un t et non pas d'un Heavyside (qui a pour Transformée de Laplace 1/p) ?

[stefjm]

Bonsoir,
Vous aviez déjà trouvé et je confirme que

La fraction rationnelle en p se décompose facilement en
L'intégration donne des logarithmes du genre


et du coup,

Dont l'original en t est facile à trouver après décomposition en éléments simple.

PS1: C'est le 2 fois le log p, qui donne le 1/p^2, puis t.h(t)
PS2 : Je ne connaissais pas cette méthode pour les ED linéaires à coefficients non constants. Je me demande si c'est toujours aussi facile de résoudre avec des produits

Cordialement.

[invitea5398569]

J'ai ré-essayé et effectivement ça marche, mais je n'obtiens que du sin(t) après décomposition en élément simples.

J'obtiens F(p) = K(1/p² - 1/(1+p²)) qui donne K*(-t - sin(1*t)) en TL inverse.

De plus, je n'obtiens qu'une seule constante (dû à une seule intégration) au lieu de 3 constantes différentes, pourquoi ?

[gg0]

Tu as déjà utilisé des conditions initiales. Il ne devrait même pas y avoir de constante ...

Cordialement.

[stefjm]

Bonsoir,
Je suis un peu embêter avec la constante d'intégration de l'ED en F(p).
Je n'ai jamais trop utiliser cela et le sens du truc m'échappe un peu quand même...
Cordialement.