Application injective de Q vers N^2

[invitea1804b97]

Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe une application injective de Q vers N^2, et si oui laquelle ?
Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Il en existe en fait une infinité. mais en voici une :
Au rationnel r, écrit sous la forme irréductible (donc avec q non nul), on associe
(p,q) si p est positif ou nul
(2p,2q) si p est strictement négatif.

je te laisse vérifier que je ne me suis pas trompé, qu'elle est bien injective.

Cordialement.

NB : la forme irréductible de 0 est par convention. Si tu ne connais pas, rajoute aux hypothèses.

[invitea1804b97]

Merci pour votre rapidité.
Ne voulez vous pas plutôt dire (p^2,q^2) si p est négatif ?
Sinon oui l'application est bien injective merci !

[gg0]

Non !

D'ailleurs $(p²,q²)$ où p et q sont premiers entre eux est l'image d'un rationnel positif, $\frac{p^2}{q^2}$, et il y aurait 2 antécédents. L'idée de multiplier par 2 permet d'avoir un autre type de couple que les images des rationnels positifs.
mais il y a une erreur, c'est :
(p,q) si p est positif ou nul
( - 2p,2q) si p est strictement négatif.
Pour que l'image soit bien dans NxN.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea1804b97]

Parfait, merci !