Prouver que le Dirac est une distribution singulière

[invitea5398569]

Bonsoir,

Ma question est simple, je veux prouver qu'il n'existe aucune fonction localement sommable associée au Dirac (en 0 sous-entendu).

J'ai donc pensé raisonner par l'absurde, en prenant f dans D (de support borné K) et en supposant qu'il existe une fonction d localement sommable telle que <d, f > = <Dirac, f> = f(0).

par définition, j'obtiens . Mais comment poursuivre ?

Merci d'avance =)
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[invite23cdddab]

Une façon rapide :

Considère la suite de fonctions C-infinies à support dans [-1/n,1/n] qui vaut 1 en zéro pour tout n.


On a < d,f_n > = 1 pour tout n

Mais converge vers 0 (théorème de convergence dominée ) : contradiction

[invitea5398569]

Effectivement, avec la fonction porte de largeur 2/n ça marche, et donc si je comprends bien en passant par l'absurde, on montre que la propriété normalement vérifiée pour tout D peut être infirmée pour certains f de D.

[invite23cdddab]

Après, on ne peut pas utiliser la fonction porte, vu qu'elle n'est pas dans D, mais ici ça a peu d'importance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5398569]

Okay.

Autrement, une autre question, mais ai-je raison quand je dis que la dérivée de Dirac en a, n'est jamais impaire quelque soit a réel ?

En effet, pour tout f dans D, je dois avoir ce qui est impossible.